4-5定积分.pdf

第四章积分学不定积分定积分定积分第二节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质第四章一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成, 求其面积A. ? ? A ) (x f y?矩形面积梯形面积 1x ix 1?ix a y o 解决步骤: 1)分割. 在区间[a , b] 中任意插入n –1 个分点 b x x x x x a n n ????????1 2 1 0 ?] , [ 1i i i x x ???用直线 ix x?将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2)] , [ 1i ix x ?为底, ) ( i f?为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得) ( ) ( 1??????? i i i i i i x x x x f A ? i? 3) 求和.???? n i iA A 1 ???? n i i ix f 1 ) (? 4) ????? n i iA A 1 0 lim ?????? n i i ix f 1 0 ) ( lim ?? a y o 1x ix 1?ixi? 2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动, 且求在运动时间内物体所经过的路程s. 解决步骤: 1) 分割. 将它分成在每个小段上物体经 2) 取近似. 得 i i i t v s ???) (?), ,2,1 ( n i ??已知速度 n个小段过的路程为 3) 求和. 4) 取极限. 上述两个问题的共性: ?解决问题的方法步骤相同: “分割、取近似、求和、取极限”?所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 a b x o 二、定积分定义任一种分法, 2 1 0 b x x x x a n???????任取 i ?总趋于确定的极限I, 则称此极限I 为函数在区间上的定积分, 1 x i x 1 ? i x ? ba x x f d)( 即?? ba x x f d)( i n i ix f ????1 0 ) ( lim ??此时称f ( x) 在[a, b] 上可积. 记作?? ba x x f d) ( i n i i x f ???? 1 0 ) ( lim ??积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间] ,[b a 定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即? ba x x f d)( ?? ba t tfd)( ?? ba u u f d)( 定积分的几何意义: 曲边梯形面积曲边梯形面积的负值 a b y x 1A 2A 3A 4A 5A 5 4 3 2 1 d)( A A A A A x x f ba ??????各部分面积的代数和