高数b(2)6-10章知识点总结.doc

高数B(2)6-10章知识点总结
第6章 定 积 分
§6. 1 定积分的概念与性质
1．概念 定积分表示一个和式的极限
其中：，；；
几何意义：表示，，，所围曲边梯形面积的代数和
可积的必要条件：在区间上有界
可积的充分条件：（可积函数类）
（1）若在上连续，则必存在；
（2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则必存在；
（3）若在上单调、有界，则必存在。
2. 性质
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
（5）
（6）若，， 则
推论1：若，， 则
推论2：
（7）若，， 则
（8）若在上连续，在上不变号，存在一点

特别地，若，则至少存在一点，或，使得

（9）若在上连续，则其原函数可导，且
（10）若在上连续，且，则
§6. 2 定积分的计算
1. 换元法
2. 分部法 ，或
3. 常用公式
（1）
（2），其中，为连续偶函数
（3），其中
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
§6. 3 广义积分
1. 无限区间的积分（无穷积分）
（1）定义与性质
，若极限存在，则原积分收敛；
，若极限存在，则原积分收敛；
，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛；
，，，具有相同敛散性；
，即收敛积分和仍收敛
（2）审敛法
比较审敛法：
设，则
比较法的极限形式：
设，则
柯西审敛法：
设，则
特别地，
绝对收敛与条件收敛：
2. 无界函数的积分（瑕积分）
（1）定义与性质
（），若极限存在，则原积分收敛；
（），若极限存在，则原积分收敛；
（），两积分都收敛，原积分才收敛；
，，具有相同敛散性；
，即收敛积分和仍收敛
（2）审敛法
比较审敛法：设非负，且，
若，则
比较法的极限形式：若，则
柯西审敛法：若，或，则
定义求证；（2）当函数单减时，曲边梯形的面积个窄条矩形面积之和；
12．应用介质定理、微分和积分中值定理的命题
解题思路
（1）若结论不含，则将结论改写为的形式，左边设为辅助函数，用介质定理、微分和积分中值定理求解；
（2）若结论含，将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含），再由此作辅助函数（有时需将所含定积分化为积分上限的函数），用微分和积分中值定理求解；
（3）若结论为含的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数，用微分和积分中值定理求解。
13．定积分不等式的证明
解题思路
常用定理：定积分的比较定理，估值定理，函数单调性判别法，微分与积分中值定理，泰勒公式；
常用不等式：，，柯西不等式
常用等式：，，
（1）利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证；
（2）若仅知被积函数连续：作辅助函数，将结论所含定积分化为变限积分，移项使右边为零，左边即为辅助函数，再用函数单调性或求证。
（3）若已知被积函数可导，且至少有一端点：将函数化为变限积分，即，或求证；
（4）若已知被积函数二阶可导：将被积函数按泰勒公式展开并缩放，利用定积分比较定理求证。
14．广义积分的计算
解题思路 分清积分的类型。一般将无穷积分，瑕积分化为常义积分，再取极限求解；混合型广义积分则须拆分积分区间，按无穷积分和瑕积分分别求解。
§6. 4 定积分的应用
1．定积分的微元法
设所求量A可表为，则，于是
2．直角坐标下平面图形的面积
（1）由，，及轴所围的平面图形的面积
（2）由，，，及轴所围的平面图形的面积
（3）由，，，及轴所围的平面图形的面积
（4）由参数方程表示的曲线所围面积可作换元处理
3．极坐标下平面图形的面积
一般若平面图形的边界是圆或圆弧，可考虑用极坐标求解。
（1）由，，所围的平面图形的面积
（2）由闭合曲线所围的平面图形，若极点在图形内部，则面积
4．平行截面面积已知的立体体积
已知平行截面面积为，，或，，则其体积
，或
（1）一曲线绕坐标轴一周的旋转体体积
，
（2）两曲线绕坐标轴的一周的旋转体体积
，
（3）曲边梯形面积绕轴或一周的体积为
，或，
曲边梯形面积绕轴或一周的体积为
，或，
5．定积分在经济分析中的应用
（1）由边际函数求原函数
原经济函数为其边际函数的不定积分；原经济函数的增量为其边际函数的定积分，即，
（2）由边际函数求最优问题
最低成本：，
最大收益：，
最大利润：，
（3）消费者剩余和生产者剩余