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§ 非齐次方程—纯强迫振动
一、定解问题
我们来考虑有界弦(或杆)的纯强迫振动
2
ìutt = a uxx + f (x,t) <1>
ï
ïu |x=0 = 0
ï <2>
íu |x=l = 0
ï
u |t=0 = 0
ï <3>
îïut |t=0 = 0
二、求解思路
2
思路①:对于ìutt = a uxx + f (x,t)
ï
íu |t=0 = 0
ï
îut |t=0 = 0
我们可以先由冲量定理求解:
2
ìvtt = a vxx
ï
ív |t=τ= 0
ï
îvt |t=τ= f (x,τ)
v(x,t;τ)可由达朗贝尔公式求出
t
而u(x,t) = v(x,t;τ)dτ
ò0
所以我们可以想到,对于:
2
ìutt = a uxx + f (x,t)
ï
ïu |x=0 = 0
ï
íu |x=l = 0
ïu | = 0
ï t=0
îïut |t=0 = 0
也可以先用冲量原理求解
根据冲量原理,先求解:
2
ìvtt = a vxx
ï
ïv |x=0 = 0
ï
ív |x=l = 0
ïv | = 0
ï t=τ
îïvt |t=τ= 0
其中v(x,t;τ)可由有界弦自由振动公式求出
t
这时u(x,t) = v(x,t;τ)dτ
ò0
思路②:
我们考虑二阶非齐次的常微分方程的求解:
对于 y¢¢(x) + p(x) y¢ + Q(x) y = f (x) (*)
我们可采取常数变易法求解,即:
先求解对应的齐次方程:
y¢¢(x) + p(x)y¢ + Q(x)y = 0
若它有通解:
yg (x) = C1 y1(x) + C2 y2 (x)
则可令对应的齐次方程(*)有通解:
yg (x) = C1(x)y1(x) + C2 (x)y2 (x)
将yg (x)代入(*)并附加一个条件,即可求出
C1 (x)、C2 (x)从而求出ys
则对于定解问题<1>~<3>,我们也可先
考虑对应的齐次问题:
2
ìutt = a uxx
ï [这一问题用分离变量法是易于求
íu |t=0 = 0
ï 得 X (x) 本征值问题]
îut |t=0 = 0
再采用类似于常数变量法类似的方法求对
应的非齐次问题的特解。
三、求解:
2
ìutt = a uxx
1、对应的齐次条件ï
íu |t=0 = 0
ï
îut |t=0 = 0
令 u ( x, t ) = X ( x)T (t )
ìX ¢¢ ­ µX = 0
ï
íX (0) = 0
ï
îX (l) = 0
解得: nπ
µ = ­( )2 , n =1,2,...
l
nπx
X (x) = C sin
n n l
2、求解Tn (t)的方程
仿照常数变易法,令:
¥ nπx
,
u(x t) = åTn (t)sin <4>
n=1 l
将之代入式<1>得:
¥
² anπ 2 nπx
å[Tn (t) + ( ) Tn (t)]sin = f (x,t)
n=1 l l
由傅里叶级数的系数公式有:
² anπ 2
T (t) + ( ) T (t) = f (t) <5>
n l n n
2 l nπα
其中: fn (t) = f (α,t)sin dα<6>
l ò0 l
再将式<4>代入初始条件<3>,得:
ì ¥ nπx
ïåTn (0)sin = 0
ï n=1 l
í ¥
ï ¢ nπx
åTn (0)sin = 0
îï n=1 l