利用微积分证明不等式.doc

利用微积分证明不等式
余建生 指导教师:吴晓
摘要 对于不等式证明的方法有很多，利用微积分的知识来证明不失为一个简单易
掌握的方法，本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例，对不等式证明的微积
分方法进行了探究与归纳。
关键词 不等式；导数；定积分
引言
不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法。例如，数形结合的思想，转化的思想,类比的思想，分类讨论思想，,高中时就学习了很多基本的不等式证明方法。例如，求导证明，利用简单的微积分证明。不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位,是教学的一个重点,也是学习的一个难点，本文应用微积分的有关概念，定理，结合典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳。
1。利用微分中值定理（拉格朗日中值定理）证明不等式
定理1 若函数f满足如下条件:
(ⅰ）在闭区间上连续，
（ⅱ） 在开区间内可导,
则在内至少存在一点，使得

这里没有给出的确切位置,而对于不等式而言，也不必精确。因此可用中值定理证，这时的关键是选择及区间.
例1。1 若，试证.
证 设。
当时,在上满足拉格朗日中值定理，
所以 ，
而 ,
。
,
于是。
若x>0,试证:.
证 设 ,
因在上满足拉格朗日中值定理,
.
又,
。
即.
利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心，在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点”，即来确定不等式关系，关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间.
2．利用函数的单调性证明不等式
函数的单调性,在微积分中用导数来判定.
定理2 设函数在区间上可导，如果对任意的，恒有（或)则f（x）在内单调增加（或单调减少）.
证明不等式,其中。
证 （i）设.
当x〉0时,.
单调减少。
。
（ii)
当，
。
。
，。
例2。2 证明：.
证 设。
. （无法判断的符号)

.
，
，
，
，
即.
利用函数的单调性证明不等式时,首先要根据不等式构造函数,这是解题的关键
.此时，只须证明或，而要证明或，首先求,判断还是再使用定理。
3．利用泰勒公式证明不等式
一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式（或麦克劳林公式）。
定理3（泰勒定理） 若函数f满足如下条件:
(i）在开区间上函数f存在直到n阶导数，
（ii） 在闭区间上存在 f的n+1阶导数，
则对任何,至少存在一点，使得

若在内,则对任意几个点，试证有不等式。
证 将介在展开，,
有.
，
（1)
对（1）式中分别取，得到 =1，2，…n.
将上面的n个不等式两边分别相加得
，
即.
设>—1，证明(i）在，；
(ii)在a〈0或a>1时，。
证 设， .
，
则的麦克劳林展式为
介于0与之间。
即 .