§ 多项式函数与多项式的根
一、多项式函数
定义:设
对
数
称为当
F中的根或零点。
定义(多项式函数):设
对
作映射f:
为F上的多项式函数。
时
的值,若
则称c为
在
映射f确定了数域F上的一个函数
被称
当F=R时,
就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若
则
二、余式定理和综合除法
所得的余式是。
用一次多项式x-c去
(余式定理):
除多项式
证:由带余除法:设
则。
问题1、
有没有确定带余除法:
的简单方法?
中
和
设
把
代入
中展开后比较方程两边的系数得:
因此,利用
与
之间的系数关系可以方便
和r,这就是下面的综合除法:
于是得
去除
:求用
的商式和余式。
解:由综合除法
因此
利用综合除法求
与r时应注意:
1、多项式系数按降幂排列,有缺项必须补上零;
2、除式
要变为
:把
表成
的方幂和。
(因式定理):
因式
的充要条件是。
证明:设
若
即
故
是
的一个因式。
若
有一个因式
即
故
此即。
由此定理可知,要判断一个数c是不是
的根,
可以直接代入多项式函数,
看
是否等于零;也可
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
多项式
有一个
三、多项式的根
定义3:若
是
的一个k重因式,
即有
但
则
是
的一个k重根。
问题2、
若多项式
有重根,能否推出
有重因式,反之,若
有重因式,能否说
有重根?
由于多项式
有无重因式与系数域无关,
而
有无重根与系数域有关,故
有重根
有重因式,但反之不对。
(根的个数定理):
数域F上
次多项式至多有n个根
(重根按重数计算)。
证明(用归纳法):
当
时结论显然成立,
假设当
是
次多项式时结论成立,
则当
是n次多项式时,
设
是
的一个根,则有
是n-1次多项式,由归纳知
至多只有
个根,故
至多只有n个根。
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