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第四章函数的连续性
§1 连续性概念
例1 用方法验证下列函数的连续性:
(1); (2).
解(1)若,当|x|<δ时,.若,先限定,为了使
,
只要取,当时,便有
.
(2)若,当|x|<δ时,.若,先限定,这时x与同号,即,于是
为了使,只需取
,
当时,.
例2 证明函数
在处连续,但是在处不连续.
证时,因为,于是,即在x=0处连续.
时,,在中取为有理数,取为无理数,于是
.
由函数极限柯西准则的否定形式可知在点处极限不存在,.
例3 讨论函数的间断点.
解可能的间断点为x=0,.因为
,
所以为函数的第二类间断点.
由于在内有定义,而
因此x=0是函数的可去间断点.
说明到本章§3时可知这函数在其余各点都连续.
例4 讨论函数的间断点.
分析函数在内有定义,当时函数无限次改变符号,因而时,能交替取值1或-1,即不存在,于是为可能的间断点 .
又因为函数sug u以u=0为间断点,所以若在某点附近不断地改变函数值的符号时,则复合函数可能具有间断点,.
解设,当k为偶数时
,
;
当k为奇数时
,
;
即为跳跃间断点.
,满足,,取
,,有
,
由函数极限的柯西准则的否定形式,不存在,于是是函数的第二类间断点.
例5 设在(0,1)内有定义,且函数与在(0,1)内是递增的,试证在(0,1)内连续.
需证在点连续,(0,1)内的递增性保证了在(0,1)内是递减的,所以为了证明的存在性,很自然地想到利用函数极限的单调有界定理.
证因为在(0,1)内递增,所以在(0,1)内递减.,首先来证明=.当时,≤,,有
=≤.
另外,由于在(0,1)内递增,因此当时,
≤,
令,有
≤
即=,由在(0,1)中的任意性,可得在(0,1)内连续.
说明其中应用了基本初等函数的连续性.
§2 连续函数的性质
例1 试证函数,在上是不一致连续的.
分析需确定,可找到满足,但≥.
由于在任意闭区间(a>0)上一致连续,因此当很小时,必须在中寻找,,
,
当n充分大时,能满足,但≥1.
证,取,,当时,使,但≥,即在上不一致连续.
例2 设函数在(a,b)内连续,且==0,证明在(a,b)内有最大值或最小值.
分析因为==0,于是可把延拓成[a,b]上的连续函数,然后可以应用连续函数的最大、最小值定理.
证人先把函数延拓成[a,b]上的函数F(x),设
易知为[a,b]上的连续函数,这是因为
==0=,
==0=.
在[a,b]上对应用连续函数的最大、最小值定理,即,,在,,,则在(a,b)内恒为零,显然在(a,b)内同样能取得最大值和最小值;若
,中有一个数在(a,b)内,则在(a,b)内取得最大值或最小值.
例3 证明:若在有限区间(a,b)内单调有界函数是连续的,则此函数在(a,b)内是一致连续的.
分析因为是(a,b)内的单调有界函数,所以由函数极限的单调有界定理,可得存在,.证明本题的合理途径是把延拓成闭区间