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高等数学

练习题
习题 1-1 映射与函数
1. 设 f (x)是定义在对称区间(− l, l)上的任何函数。
⑴证明:φ()x = f ()x + f (− x)是偶函数,ψ(x) = f (x)− f (− x)是奇函数;
⑵证明定义在区间(− l, l)上任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和。
2. 设 f (x)在数集 X 上有定义,试证: f (x) 在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既
有上界又有下界。
3. 指出下列函数是否为复合函数,若是复合函数,分析它是由哪些函数复合而成的:
⑴ ecos5 (3 1+ x 2 ); ⑵ sin x ; ⑶[ f (x)]y(x) ( f (x) > 0);
2
4. 设 f ()x = e x , f []φ()x = 1− x ,且φ(x) ≥ 0 ,求φ(x) 并写出它的定义域。
⎧1, x < 1
⎪
5. 设 f ()x = ⎨0, x = 1, g()x = e 2 ,求 f [g(x)]和 g[ f (x)],并作这两个函数的图形。
⎪
⎩−1, x > 1
6. 收音机每台售价为 90 元,成本为 60 元,厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订
购量超过 100 台以上的,每多订购一台,售价就降低 1 分,但最低价为每台 75 元,
⑴将每台的实际售价 P 表示为订购量 x 的函数;
⑵将厂方所获的利润 P 表示程订购量 x 的函数;
⑶某一商行订购了 1000 台,厂方可获利润多少?
习题 1-2 数列极限
1. 用数列极限定义证明:
n 2 + a 2
⑴ lim = 1; ⑵ lim0. 999"
9 = 1;
n→∞ n n→∞
n个
2. 若 limun = a ,证明 limun = a ,并举例说明:如果数列{xn }有极限,数列{xn }未必
n→∞ n→∞
有极限;
3. 设数列{xn }有界,又 lim yn = 0 ,证明: lim xn yn = 0 ;
n→∞ n→∞
4. 对于数列{xn },若 x2k −1 → a (k →∞), x2k → a (k →∞),证明 xn → a ()n →∞
5. 证明 lim xn = a 的充要条件为对任一ε> 0 ,区间(a −ε, a + ε)外最多只有有限多项 xn
n→∞
6. 利用第 5 题的结论证明定理 4(收敛数列与子数列的关系)
习题 1-3 函数极限
1. 用函数极限的定义证明:
x 2 − 4 sin x
⑴ lim = −4 ; ⑵ lim = 0 ;
x→−2 x + 2 x→+∞ x
2. 当 x → 2 时, y = x 2 → 4 ,问δ等于多少,使当 x − 2 < δ时, y − 2 < 。
3. 根据极限定义证明: lim f (x)存在的充分必要条件是 f (x) 在 x0 处左极限、右极限各
x→x0
自存在并相等。
x x
4. 分别求 f ()x = ,φ()x = ,当 x → 0 时左、右极限,并说明它们在 x → 0 时极限是
x x
否存在?
5. 证明:当 x →+∞及 x →−∞时,函数 f (x)极限都存在且都等于 A ,则 lim f (x) = A 。
x→∞
6. 设 lim f ()x = A ,证明存在正数 x ,使得 f (x)在(−∞, − x)∪(x, + ∞)有界。
x→∞
习题 1-4 无穷小与无穷大
1. 两个无穷小的商是否一定无穷小?试举例说明可能出现的各种情况。
1
2. 根据定义证明:当 x → 0 时, y = xsin 为无穷小。
x
1+ 2x
3. 根据定义证明:当 x → 0 时, y = 为无穷大,并问 x 应满足什么条件,能使
x
y > 104 ?
4. 求下列极限并说明理由:
2x +1 1− x 2
⑴ lim ; ⑵ lim ;
x→∞ x x→0 1− x
5. 当 x → x0 时,f (x)是无穷大,是对任何收敛于 x0 点到{xn }都有 lim f ()xn = ∞,而 f (x)
n→∞
在 x0 的任一去心邻域是无界量,是指有一个收敛于 x0 的点到 xn 使 lim f ()xn = ∞,所以无穷
n→∞
1 1
大是无界量,而无界量未必是无穷大。由此分析 f ()x = sin 当 x → 0 时是一个无界量而非
x x
无穷大。
6. 函数