二次根式全章导学案.doc

第 1页 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】 1、理解二次根式的概念,并利用 a (a≥0)的意义解答具体题目. 2、理解 a (a≥0)是一个非负数和( a ) 2 =a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 【重点难点】 1、、能确定二次根式中字母的取值范围. 知识概览图(a ) 2 =a(a≥0) 新课导引如右图所示,电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得就越远, hkm ,电视节目信号的传播半径为 rkm ,则它们之间存在近似关系式, r= 2Rh ,其中 R是地球半径, R≈ 6400 km .若某个电视塔二次根式的性质二次根式的有关概念二次根式:一般地,形如( 0) a a ≥的式子叫做二次根式代数式:由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式二次根式的双重非负性①被开方数 a 非负,即 a≥0 ②a 本身非负,即 a ≥0 二次根式的有关公式 2 2 ( ) ( 0) a a a ?≥ 2 ( 0) 0( 0) ( 0) a a a a a a a ??? ??????><第 2页高为 200 km ,则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少? 【问题探究】因为 R≈ 6400 km , h= 200 km ,所以求传播半径 r,实际上就是求 2 6400 200 ? ?的值,即求 2560000 2560000 的值呢? 【解析】因为 1600 2= 2560000 ,所以 2560000 = 1600 . 所以 r≈ 2 6400 200 ? ?=1600(km) 教材精华知识点 1二次根式的概念一般地,我们把形如 a (a≥ 0)“”读作“二次根号”. 拓展(1) 二次根式必须含有二次根号“”.如3 , 16 等都有“”,虽然 16 =4 ,但是 4是二次根式 16 的计算结果,因此 16 , 121 , ,94 等也都是二次根式. (2) 二次根式中的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但前提是必须保证 a 有意义,即 a≥0,也就是说,: 2a ,因为无论 a取什么实数,都有a 2≥0,所以 2a 21x ? ?, 2 2 1 x ? ?都不是二次根式,因为它们虽然都有“”, 但是它们的被开方数都是负数,,不仅要从表达形式上看是否存在“”,而且应注意看被开方数是否是非负数,如果被开方数中含有字母,那么就要考虑字母的取值范围. (3) “”的根指数为 2,即“ 2”,我们常省略根指数 2,写作“”,不要误把“”的根指数当做 32 就不是二次根式,因为它的根指数是 3. (4) 有理数(不是 0) 与二次根式相乘,把有理数写在二次根式的前面,,一定要化成假分数再与二次根式相乘,比如: 223 与5 相乘,要写成 853 的形式,此时的有理数称为二次根式的系数. 第 3页知识点 2确定二次根式中字母的取值范围要使 a 有意义,被开方数 a就必须是非负数,即a≥0,由此可以确定被开方数中字母的取值范围,如 2 1 x?,只有当 2x +1 ≥0,即x≥12 ?时,二次根式 2 1 x?,对于式子 31 xx ??来说,只有当 3 0, 1 0, xx ? ???? ??即-1<x≤3时,二次根式才有意义. 拓展对于既含有二次根式,又含有分母的代数式,写字母的取值范围时,既要保证二次根式有意义, 3二次根式的性质二次根式的双重非负性:a ≥ 0, a≥ 0,因为 a ( a≥ 0 )表示非负数 a 的算术平方根,所以由算术平方根的定义可知 a ≥ 0,如 3 ,32 等都是非负数. (a ) 2=a( a≥ 0) .由于 a ( a≥ 0)表示非负数 a和算术平方根,将非负数 a的算术平方根平方,就等于它本身 a,因此有( a ) 2=a,例如:( 3 ) 2 =3 ,( 6 ) 2 =6 ,( ) 2 =. 拓展( 1 )( a ) 2=a( a≥ 0 ),可以看做是系数为 1 的二次根式的平方运算,结果等于被开方数.( 2 )把( a ) 2=a( a≥ 0 )逆用,写成 a=(a ) 2( a≥ 0) . 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式,利用这一特性,我们可以在实数范围内分解因式,比如:x 2 -2在有理数范围内无法分解,但在实数范围内, 2可以写成(2 ) 2,所