第一单元 函数的单调性.doc

第一单元函数的单调性
第一、二节函数的单调性
一、学习目标
通过本节课的学习,了解函数单调性的概念,同时还要掌握利用一阶导数对函数在某一区间上的单调性的判别方法.
二、内容讲解

,导数是特别重要的,不仅在本课程中有很多应用,而且在将来的工作中也有很多应用.
这一章中,主要讲导数在两方面的应用:
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例1股市及股市曲线
在生活中,随着经济的发展,,人们特别关注股市曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降;或者在哪一个时间达到峰值,哪一个时间达到低谷,低谷的值是多少?
例2生产场景及生产曲线
在工业管理中,关心投入与产量之间的关系,产量随投入变化的情况,何时达到最高.

在下两讲中就是要讨论这个问题.

下面首先讨论
(一)——函数的单调性.
什么叫函数的单调性?
:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加,函数值也在增加,叫做单调增加的;如果随着自变量的增加,函数值却在减少,,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数工具判别单调性.
先考察y =x2,它的图形是抛物线.
在x>0处,函数单调上升;在x<0处,函数单调下降。
   当在x>0这一边的每一点处都有切线时,切线的特征是:切线与x轴正向的夹角一定小于90°.
当在x<0这一边的每一点处都有切线时,
切线的特征是:切线与x轴正向的夹角一定大于90°.


(二)
设函数y = f (x)在区间[a, b]上连续,在区间(a, b)内可导.
(1)如果x(a,b)时,(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;
(2)如果x(a,b)时,(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.
意义:利用导数的符号判别函数的单调性.
说明:(1)闭区间[a,b]换成其它区间,如(a,b),(-,b],(a,+).
(2)使定理结论成立的区间,称为y=f(x)的单调区间.
问题思考:若在区间内,,则f(x)一定是什么函数?同学们考虑的怎么样呢?下面请同学回答这个问题.
学生甲:因为这个函数的导数是0,所以这个函数也是0.
学生乙:,当函数是常数时, (x)应该是常数C. 
想一想:这两位同学中,哪一位回答是正确的?
在判断哪一位同学的回答是正确的之前,.
 设函数y = f (x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导.
(1) 如果x(a,b)时,(x)>()0,则f (x)在[a,b]上单调增加(不减);
(2) 如果x(a,b)时,(x)<()0,则f(x)在[a,b]上单调减少(不增).
“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢?
单调增加是自变量变大,函数值也变大;而单调不减是自变量变大,函数值不变小,,单调增加与单调不减是有一些差别的.
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¢  设函数y=f(x