第十九章含参变量积分
例1 研究函数的连续性,其中是上连续且为正的函数。
解令,则在连续,其中。从而在连续。
当时,
当时,记,则
若存在,则
故在不连续。
或用定积分中值定理,当时, ,使
若存在,则
故在不连续。
问题1 上面最后一个式子能否写为
。
事实上,是依赖于的,极限的存在性还难以确定。
例2 设在连续,求证
(其中)
满足微分方程。
证令,则
,
它们都在上连续,则
例 3 设为连续函数,
求。
解令,则
在第一项中令,在第二项中令,则
问题2 是否有
例4 利用积分号下求导法求积分
,
解令
时,无定义,但,,故补充定义
,
则在连续(),从而在连续。
显然在点不连续,但分别在和连续,故有
, 或
令
,
或
积分之
,
,
因为在连续,故
得,从而得
,
例 5 利用积分号下求导求积分
, (为正整数,)
解因为,
而收敛,故在一致收敛。
因为
故
由数学归纳法易证
于是
例6 证明(1)关于一致收敛;
(2)关于不一致收敛。
证(1)用分段处理的方法。,, 令得
因为,则,,当时,有
(1)
又,
而收敛,由M判别法,在一致收敛,即,,,有
, (2)
上式对显然成立,结合(1)(2)式,有
,
即关于一致收敛。
(2)因为时,发散,因此关于不可能一致收敛。
例7 计算积分。
解
令
在第二项积分中令,得
故
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