一阶线性微分方程的标准形式:
上方程称为齐次的.
上方程称为非齐次的.
例如
线性的;
非线性的.
一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程
(使用分离变量法)
齐次方程的通解为
2. 线性非齐次方程
讨论
两边积分
非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换.
作变换
积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
非齐次线性方程的通解
相应齐方程的通解
等于
与非齐次方程的一个特解之和
即
非齐通解= 齐通解+ 非齐特解
——线性微分方程解的结构,是很优良的性质。
例1
解
解方程
解
相应齐方程
解得
令
例2
代入非齐方程
解得
故非齐次方程的通解为
例3
解方程
解
这是一个二阶线性方程
由于其中不含变量 y
若令
化成一阶线性方程
其通解为
即
再积分
即为原二阶方程的通解
例4 如图所示,平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线.
解
两边求导得
解此微分方程
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