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Ch 10 广义积分
计划课时: 8 时
P 44—61
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Ch 10 广义积分(8 时)
问题的提出: 广义积分亦称为 Cauchy—Riemann 积分,或 C—R 积分.
§1. 无穷限广义积分:
1. 概念和几何意义:
+∞
A
定义 AF )( = , −+∞= aFFf )()( .
∫a ∫
a
几何意义:
+∞ dx 0 dx +∞ dx
例 1 ⑴讨论积分, , 的敛散性.
∫ 2 ∫ 2 ∫ 2
0 1+ x ∞− 1+ x ∞− 1+ x
+∞ dx
⑵计算积分.
∫ 2
0 xx ++ 52
例 2 讨论以下积分的敛散性:
+∞ dx +∞ dx
⑴; ⑵.
∫ p ∫ p
1 x 2 xx )(ln
+∞
例 3 讨论积分∫ cos xdx 的敛散性.
a
2. 无穷积分的性质:
⑴ xf )( 在区间[ a , + ∞) 上可积, k — Const , 则函数 k xf )( 在区
+∞+∞
间[ a , ∞+ ) 上可积, 且∫)( = kdxxkf ∫)( dxxf .
a a
⑵ xf )( 和 xg )( 在区间[ a , + ∞) 上可积, ⇒ xf )( ± xg )( 在区
+∞+∞+∞
间[ a , ∞+ ) 上可积, 且∫ gf )( =± ∫ f ± ∫ g .
a a a
⑶无穷积分收敛的 Cauchy 准则: ( 翻译→,)( ABAF +∞→. )
+∞
Th 积分∫)( dxxf 收敛
a
A′′
ε 0 , , ∀∃>∀⇔′′′,, ⇒> ∫)( dxxfAAAA < ε.
A′
⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
绝对收敛⇒收敛, ( 证) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分.
3. 无穷积分判敛法:
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 AF )( ↗. 非负函数无穷积分
敛散性记法.
⑴比较判敛法: 设在区间[ a , + ∞) 上函数 xf )( 和 xg )( 非负且
xf )( ≤ xg )( ,又对任何 A >a ,xf )( 和xg )( 在区间[ , Aa ] 上可积. 则
+∞+∞+∞+∞
∫ g < ∞+ , ⇒∫ f < ∞+ ; ∫ f = + ∞, ⇒∫ g = + ∞.
a a a a
+∞+ x 2 )1sin(
例4 判断积分 dx 的敛散性.
∫ 2
0 5 + x
比较原则的极限形式: 设在区间[ a , ∞+ ) 上函数
f
0 , 0 , fg ≥> 0 , lim = c . 则
x +∞→ g
+∞+∞
ⅰ> 0 < c < + ∞, ⇒∫ f 与∫ g 共敛散:
a a
101
+∞+∞
ⅱ> c = 0, ⇒∫ g < + ∞时, ∫ f < + ∞;
a a
+∞+∞
ⅲ> c = ∞+ , ⇒∫ g = + ∞时, ∫ f = + ∞. ( 证)
a a
+∞ dx 1
⑵ Cauchy 判敛法: ( 以为