Ch5 大数定律及中心极限定理.ppt

第五章大数定律及中心极限定理
第一节大数定律
第二节中心极限定理
第一节大数定律
先介绍 序列几种收敛性的定义
:设X1,X2,…是定义在同一概率空间( ,F ,P)上的 列,如果


则称 列几乎处处(或依概率1)收敛于
,记为
()
第一节大数定律
:若对任意的>0,有


(或: )

则称 列依概率(或随机收敛)收敛于 X,记为
第一节大数定律
(或弱收敛):设 X,Xn各自 为 F(x) 和 Fn(x),若在F(x)的每一连续点 x 处,有


则称 列 Xn 依分布收敛于 X ,
记为或
第一节大数定律
r 阶平均收敛:设对某r>0, ,
若有
则称 列{Xn}依 r 阶平均(矩)收敛到 X,
记为

以上四者之关系为
第一节大数定律
大数定律的数学定义:
设{Xn}是 列,记,{an}是常数列。若>0,有


即
则称{Xn}(按算术平均值)服从大数定律。
命题1 车比雪夫定理 (由车比雪夫在1866年证明的)
设{Xn}是相互独立的 列,若存在c>0,使DXn≤c,则{Xn}服从大数定律。

证明:取,
∵{Xn}相互独立,
∴故

从而由车比雪夫不等式,有
第一节大数定律
推论:设 列{Xn}相互独立,且,
存在,则{Xn}服从大数定律。
例如:某容器内有很多气体分子,它们在不断地运动,
每个气体分子运动是随机的,在一定温度下容
器内某部分气体分子的动能的算术平均值几乎
是一个常数。
命题2 贝努利定理(Bernoulli Th)
在 Bernoulli 试验中,设事件 A 在每次试验中出现的概率为p ,记 nA为前 n 次试验中A出现的次数,则>0,有


即
第一节大数定律
证明:令

则{Xk,k≥1}相互独立,且 DXk=pq≤1(EXk=p),

, ,
∴由命题1知


由此Th可知,为什么在实际中,可用频率去代替概率的道理。