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第四章函数的连续性
习题
§1 连续性概念
按定义证明下列函数在其定义域内连续:
(1); (2)
指出下列函数的间断点并说明其类型:
(1); (2); (3);
(4); (5);
(6)
(7)
延拓下列函数,使其在上连续:
(1); (2); (3).
证明:若在点连续,则与也在点连续。又问:若与在上连续,那么在上是否必连续?
设当时,而。证明:与两者中至多有一个在连续
设为区间上的单调函数。证明:若为的间断点,则必是的第一类间断点
设只有可去间断点,定义,证明:为连续函数
设为上的单调函数,定义,证明:在上每一点都右连续
举出定义在上分别符合下述要求的函数:
(1)只在三点不连续的函数; (2)只在三点连续的函数;
(3)只在上间断的函数;4)只在右连续,而在其他点都不连续的函数
§2 连续函数的性质
论复合函数与的连续性,设
(1),;(2),.
2. 设在点连续,证明:
(1)若,则存在,使在其内有;
(2)若在某内有,则
3. :也在上连续.
设为上连续函数,
证明:在上连续.
:复合函数在连续,但在不连续.
,:?
,在上连续,能否由此推出在内连续.
:
(1); (2).
:若在上连续,且对任何,则在上恒正或恒负.
:任一实系数奇次方程至少有一个实根.
:若都在区间上一致连续,则也在区间上一致连续.
:在区间上一致连续.
:在区间上一致连续,但在区间上不一致连续.
,即存在常数,:在上一致连续.
:在上一致连续.
:在上一致连续.
,:存在点,使得
,:为上连续.
.,.证明:存在,使得
.
:在上一致连续.
§3 初等函数的连续性
求下列极限:
(1); (2);
(3);
(4); (5).
:.
总练习题
设函数在内连续,:
(1)在内有界;
(2)若存在,使得,则在内能取到最大值.
,:在内能取到最小值.
,证明:
(1)若对任何有理数有,则在上;
(2)若对任意两个有理数,有,则在上严格增.
,.证明:方程

在区间与内各有一个根.
,且对任何,存在,使得
.
证明:存在,使得.
,,:存在一点,使得

,
.证明:
(1)为收敛数列; (2)设,则有;
(3)若条件改为,则.
,.证明:对任何正整数,存在,使得
.
,:
(1)在上连续; (2).
,:为常量函数.
习题答案
§1 连续性概念
2.(1),第二类间断点