第五章特征值和特征向量
矩阵的对角化
矩阵的特征值
矩阵的特征向量
矩阵可对角化的条件
预备知识
向量的内积
在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系
内积定义:
夹角:
向量的长度:
内积的坐标表示式:
定义1 设有维向量
令
称为向量与的内积.
内积性质(其中为维向量, 为实数):
(1)
(2)
(3)
(4) 等号当且仅当时成立.
定义2 令
称为维向量的长度(或范数).
向量的长度具有下述性质:
(1)非负性:
(2)齐次性:
(3)三角不等式:
当时,称为单位向量.
不等式:
或
由此得
任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.
这一过程称为将向量单位化.
定义3 当时,
定义4 当时,
称为维向量与的夹角.
称向量与正交(或垂直).
零向量与任何向量都正交
定义5 若一个向量组中任意两个向量都正交,
则称此向量组为正交向量组.
定理2 若维向量是一组
若一个正交向量组中每一个向量都是单位向
量,则称此向量组为正交规范向量组或标准
正交向量组.
两两正交的非零向量组,则
线性无关.
求非零向量,使成为正交向量组.
例1 已知
解设
则
即
由
得
从而有基础解系
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