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排队论预备知识 1. 代价方程在排队论模型中,一些基本的令人感兴趣的量有: L ——系统中顾客的平均数 QL ——系统中排队等待服务的顾客平均数 W ——顾客在系统中停留的平均时间 QW ——顾客在系统中排队等待的平均时间这几个量以及其它使人感兴趣的量的很多有用的关系可以由下面的思想获得: 假定正在进入系统的顾客被迫支付费用( 按某种规则) 给系统。这样我们就有下面的基本代价方程: 系统挣得费用平均速率= a??一个进入系统的顾客的平均花费( 5-1 ) 其中 a?定义为顾客的平均到达速率。即,若( ) N t 表示在 t 时间内到达的顾客数,则( ) lim at N t t ????通过选取适当的花费规则, 作为方程的特例, 很多有用的公式都可以得到, 比如, 假设每个顾客在系统中单位时间内花费 1 元,由方程即得到所谓的 Little ’s 公式: a L W ??( 5-2 ) 在该花费规则下, 这个公式表明, 系统挣得费用的速率就是系统中顾客数, 顾客支付费用就是他在系统中的时间。类似地,若假设每个顾客在排队中单位时间花费 1 元,则( 5-1 )式变为: Q a Q L W ??( 5-3 ) 假定花费规则为每个顾客在服务时单位时间支付 1 元,则由( 5-1 )得到: 受服务的顾客平均数= a?[ ] E S ( 5-4 ) 其中[ ] E S 定义为顾客被服务的平均时间。需要强调的是:( 5-1 )~( 5-4 ) 几乎对所有排队模型有效, 而无论其到达过程、服务人员数或排队规律怎样。 2. 几个重要的概率分布 1) 定长分布(单点分布) 定义 设随机变量 X 以概率 1 取常值 a ,即?? 1 P X a ? ?,则称 X 服从定长分布或单点分布。它的概率分布函数为?? 0 ( )1 t a F t P X t t a ??? ?????, , ( 5-5 ) 2) 负指数分布定义 一个连续型随机变量 X ,若它的分布密度函数为 0 ( ) 0 0 t e t f tt ?????????, , ( 5-6 ) 其中( 0) ???为常数, 则称随机变数 X 服从参数?的负指数分布, 其概率分布函数为 1 0 ( ) 0 0 t e t F t t ???? ?????, , ( 5-7 ) 可以求得其 k 阶原点矩为! [ ] ( 1, 2, ) kkk E X k ?? ?,方差为 21 [ ] D X ??。服从负指数分布的随机变量具有下面的基本性质——?“无记忆性”或称“无后效性”。定理 设连续型随机变量 X 服从参数( 0) ???的负指数分布,则(1) 对任意 0 0 t s ? ?, ,有{ | } { } t P X t s X s P X t e ??? ? ????( 5-8 ) (2) 对任意一个与 X 相互独立的非负随机变量 Y ,和任意 0t?,在{ } 0 P X Y ? ?的条件下,有{ | } { } t P X Y t X Y P X t e ??