一元线性回归-方差分析-显著性分析.docx

一元线性回归分析及方差分析与显著性检验
某位移传感器的位移*与输出电压y的一组观测值如下：(单位略)
X
1
5
10
15
20
25
y






设x无误差，求y对x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。
(附:Fo. 10(b 4)=4. 54, Fo. os(b 4)=7. 71, Fo. oi(b 4)=21. 2)
回归分析是研究变量之间相关关系的一种统讣推断法。
一・一元线性回归的数学模型
在一元线性回归中，有两个变量，其中x是可观测、可控制的普通变量, 常称它为自变量或控制变量，y为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过 散点图或计算相关系数判定y与x之间存在着显著的线性相关关系，即y与x 之间存在如下关系：
y = a + b*x + s (1)
通常认为£~N(0,§2)且假设§2与X无关。将观测数据(Xi，yj (i二1,……，n)代入 (1)再注意样本为简单随机样本得：
( y, = a + b * Xi + £j
U-£n独立同分布N(0,。2) J
称⑴或⑵(乂称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。
对其进行统计分析称为一元线性回归分析。
模型⑵中EY二a+b*x,若记y二E(Y),则yp+bx,就是所谓的一元线性回归方 程，其图象就是回归直线，b为回归系数，a称为回归常数，有时也通称a、b为 回归系数。
设得到的回归方程
y = b0+bx
残差方程为］=儿_ $ = X-b°_bXj / = 12…,N 根据最小二乘原理可求得回归系数bo和bo 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令
! \
1 Xj
Y =
『2
x =
1 x2
a
b =
3丿
J "
则误差方程的矩阵形式为
Y Xb = V
对照设测得值21的精度相等，则有
b = （XfXy[X^Y
将测得值分别代入上式，可计算得
N N N N N N N
"工1-（工兀）（工兀）/ （2＞；）（5＞）-（工兀）（工1）_ _
b =亠^―-'.v "-1 十 b严亠—叫——―— = y-bx
N 工 x；7 工 xx 吃#-（"
『■】 『■】 『■】 了 ■】
-1 N
_ 1 N
rp
N _ N \ N
J = £（兀 - x）~=£厂-〒（£兀）「
z-l r-1 N 7
N _ _ N i N N
lxy = ECvz-x）（yr-y） = 2L兀X 一石（工為）（工x）
/-I 7-1 N /-I /-I
N _ N \ N
—=£（开-刃2 = £儿-万（£y『）2
el /-] N 7
问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律回归直线的预报精度 如何？
解决办法：
方差分析法一分解X个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个
影响因素；用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。
（一）回归方程的方差分析
总的离差平方和（即'个观测值之间的变差）
Z —
s =》（x-y）2=d v5 = tv-i
/-i