1-2子空间与子空间分解.doc

§2 线性子空间与子空间的分解
在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。
一、线性子空间的定义
定义7 设是数域上的一个线性空间，是的一非空子集。如果对于中所定义的加法和数乘运算也构成数域上的一个线性空间，则称为的一个线性子空间，简称子空间。
验证是否为的子空间，实际上只需考察对于中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则在对线性运算是封闭的情况下必是满足的。
例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身，另一个是，称为零元素空间（零子空间）。
除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。
例2 给定，集合
分别是和上的子空间，依次称为的零空间(核)和列空间
（值域），零空间的维数称为零度
的零空间是齐次线性方程组的全部解向量构成的维线性空间的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以，。
的左零空间和行空间
，。
表示的广义逆，满足，则有

且，幂等。所以
例3 设是的个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合
是的一个子空间，称为由生成的子空间。
若记，则

由子空间的定义可知，如果的一个子空间包含向量，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说是的一个子空间。
注：容易证明
(1)。
(2),，特别若可表示为的线性组合，则。
定理2 设是的一个维子空间，是的一个基，则这个向量必定可扩充为的基。
证明
若，则定理已成立。若，则中必存在一个向量不能由线性表出，从而线性无关。如果，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过次，则可得到内个线性无关的向量，使为的基。
二、子空间的分解
子空间作为子集，有子集的交（），和（）等运算，对它们有如下定理。
定理3 设是线性空间的子空间，则有
(1) 与的交集是的子空间，称为与的交空间。
(2) 与的和 是的子空间，称为与的和空间。
证明
(1)由,,可知,，如果,即而且,因此,,,由,,.
(2)由定义,而且非空.,则有.
由

，
因是子空间,则,所以 即是的子空间.
子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。
定理4 (维数定理)设和是线性空间的两个子空间，则有
+=+ (1)
证明
设,, , 基为，由定理2知，它们可分别扩充为：
的基，
的基，
则
=，
=，
.
下面证明为线性无关组。
任取数使
. (2)
因为

所以

从而有

即

由是的基,线性无关,(2)式,得
而是的基,于是
故
线性无关，dim,
定理得证.
从(1)式知，若，则有dim(+)<dim+dim,这时其表达式中与不是唯一的。
例如
，有，即。这时可有两种表达式和
例4 设中的两个子空间是
求及的基和维数。
解
=
由于且线性无关，故的一个基为，其维数=3。
由维数定理知
=-=2+2-3=1
根据
，
得到
，
从而为的一个基，其维数=1。
三、直和子空间
子空间的和的定义仅表明，其中的任一向量可表示为 。但这种表示法不一定唯一。
定义8 设是线性空间的两个子空间，如果中每个向量的分解式

是唯一的，则称为的直和，记为。
定理5 设，是线性空间的两个子空间，则下面几条等价
(1) 是直和；
(2) 向量表示法唯一，即由得；
(3) =；
(4)
证明
采用轮转方式证明这些命题。
按定义，内任一向量表示法唯一，因而的表示法当然唯一。
用反证法。若，则有，于是，。而，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。
利用维数定理即得。
由维数定理知dim()=0