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内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法
摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.
关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算
前言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
1. 预备知识
二重积分的定义
设是定义在可求面积的有界区域上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任意分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有
,
则称在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作
,
其中称为二重积分的被积函数, 称为积分变量, 称为积分区域.
二重积分的若干性质
若在区域上可积, 为常数,则在上也可积,且
.
若,在上都可积,则在上也可积,且
.
若在和上都可积,且与无公共内点,则在上也可积,且
在矩形区域上二重积分的计算定理
设在矩形区域上可积,且对每个,积分存在,则累次积分也存在,且
.
同理若对每个,积分存在,在上述条件上可得

二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的型\型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.
在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算
型区域:
型区域:
定理:若在区域上连续,其中,在上连续,则
即二重积分可化为先对,后对的累次积分.
同理在上述条件下,若区域为型,有
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积.
解：设圆柱底面半径为,两个圆柱方程为
与.
只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以为曲顶,以四分之一圆域:
为底的曲顶柱体,所以
于是.
另外,一般常见的区域可分解为有限个型或型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质求得即可.
二重积分的变量变换公式
定理: 设在有界闭域上可积,变换: , 将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域,函数,在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
, ,
则.
用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.
例1 求,其中是由,,所围区域.
解 为了简化被积函数,令,.为此作变换:,,则
.
即
例2 求抛物线，和直线，所围区域的面积
．
解的面积．
为了简化积分区域，作变换： ，．它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域．由于
，，
所以
用极坐标计算二重积分
定理: 设在有界闭域上可积,且在极坐标