将军饮马模型.doc

将军饮马模型
将军饮马问题
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题 眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离 是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样 的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。

“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”
原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？
•A
•B
模型一：一条定直线，同侧两定点
在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离 。
理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。所以 PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？
• A
• B
• B
• A
•
A’
•
B’
•
A’
•
B’
L
L
模型二：一条定直线，一定点，一动点
如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点M
，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。
模型三：一定点，两条定直线
如图，在∠OAB 内有一点 P，在 OA 和 OB 各找一个点 M、N，使得△PMN 周长最短（题 眼）。
一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对