*第五节
一、被积函数含参变量的积分
二、积分限含参变量的积分
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含参变量的积分
第九章
一、被积函数含参变量的积分
上的连续函数,
则积分
确定了一个定义在[a, b]上的函数,
记作
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
含参积分的性质
定理1.(连续性)
上连续,
则由①确定的含参积分在[a, b]上连续.
—连续性, 可积性, 可微性:
①
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证:
在闭区域R上连续, 所以一致连续,
即
只要
就有
就有
这说明
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定理1 表明,
定义在闭矩形域上的连续函数,
其极限运
算与积分运算的顺序是可交换的.
同理可证,
续,
则含参变量的积分
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由连续性定理易得下述可积性定理:
定理2. (可积性)
上连续,
同样,
推论:
在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
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定理3. (可微性)
都在
证: 令
函数,
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因上式左边的变上限积分可导,
因此右边
且有
此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续
时,
求导与求积运算是可以交换顺序的.
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例1.
解:
由被积函数的特点想到积分:
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例2.
解:
考虑含参变量 t 的积分所确定的函数
显然,
由于
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故
因此得
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