考研数学一历年真题（1987—2015年）.pdf.pdf

数学一 1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题(本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 ) (1) 当 x=_____________ 时, 函数 2 x y x ??取得极小值. (2) 由曲线 ln yx ?与两直线 e1 yx???及 0 y ?所围成的平面图形的面积是_____________. 1 x ?(3) 与两直线 1 yt???及 121111 x yz ?????都平行且过原点的平面方程为_____________. 2 zt ??(4) 设 L 为取正向的圆周 22 9, xy ??则曲线积分 2 (2 2 ) ( 4 ) L xyydxxxdy?????= _____________. (5) 已知三维向量空间的基底为 123 (1,1, 0), (1, 0,1), (0,1,1), ???ααα则向量(2,0,0) ?β在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分 8 分) 求正的常数 a 与, b 使等式 2 2 0 0 1 lim 1 sin x x t dt bx x at ?????成立. 三、(本题满分 7 分) (1) 设 f 、 g 为连续可微函数,(,),(), ufxxyvgxxy???求,. uv x x ????(2) 设矩阵 A 和 B 满足关系式 2, ? AB = A B 其中 301 110, 014 ??????????? A 求矩阵. B 四、(本题满分 8 分) 求微分方程 2 6(9)1 yy ay??? ?? ?????的通解, 其中常数 0. a ?五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分, 满分 12 ,只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 2 () () lim 1, () xa fx fa xa ?????则在 x a ?处(A) () f x 的导数存在, 且() 0 fa ??(B) () f x 取得极大值(C) () f x 取得极小值(D) () f x 的导数不存在(2) 设() f x 为已知连续函数 0 ,(), s t I tftxdx ??其中 0, 0, ts ??则 I 的值(A) 依赖于 s 和 t (B) 依赖于 s 、 t 和 x (C) 依赖于 t 、 x , 不依赖于 s (D) 依赖于 s , 不依赖于 t (3) 设常数 0, k ?则级数 2 1(1) n n kn n ?????(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 散敛性与 k 的取值有关(4) 设 A 为 n 阶方阵,且 A 的行列式|| 0, a ?? A 而* A 是 A 的伴随矩阵,则* || A 等于(A) a (B) 1 a (C) 1 n a ?(D) n a 六、(本题满分 10 分) 求幂级数 1 1 1 2 n n n x n ?????的收敛域,并求其和函数. 七、(本题满分 10 分) 求曲面积分 2 (8 1) 2(1 ) 4 , I x y dydz y dzdx yzdxdy ????????其中?是由曲线 11 3 () 0 zy y fx x ???????????绕 y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y轴正向的夹角恒大于. 2 ?八、(本题满分 10 分) 设函数() f x 在闭区间[0,1] 上可微, 对于[0,1] 上的每一个, x 函数() f x 的值都在开区间(0,1) 内, 且() f x ?? 1, 证明在(0,1) 内有且仅有一个, x 使得() . f xx ?九、(本题满分 8 分) 考试点考研网 数学一问, ab 为何值时, 现线性方程组 1234 234 2341234 0 221(3)2 32 1 xxxxxxx x axxb xxxax ?????????????????有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题(本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 ) (1) 设在一次实验中, 事件 A 发生的概率为, p 现进行 n次独立试验, 则 A 至少发生一次的概率为____________; 而事件 A 至多发生一次的概率为____________. (2) 有两个箱子, 第 1个箱子有 3个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 1个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里, 再从第 2个箱子中取出 1 个球, 此球是白球的概率为___________