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第三章 函数逼近与计算§1 引言与预备知识

用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n＋1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。
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所谓函数逼近是求一个简单的函数 ,
例如 是一个低次多项式,不要求
通过已知的这n＋1个点,而是要求在整体上“尽量
好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有
误差 ,函数逼近就是从整
体上使误差 尽量的小
一些。

“对函数类A中给定的函数 ，要求在另
一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数
，使 与 之差在某种度量
意义下最小。”
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函数类 A通常是区间上的连续函数，记作
；函数类B通常是代数多项式，分式有
理函数或三角多项式。
区间 上的所有实连续函数组成一个空
间，记作 。 的 范数定义为:
称其为 —范数，它满足范数的三个性质：
I） ，当且仅当 时才有 ；
II） 对任意 成立， 为任意实数；
III）对任意 ，有
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度量标准最常用的有两种，一种是
在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或
均匀逼近；
另一种度量标准是
用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平
方逼近。这里符号 及 是范数。本章主要
研究在这两种度量标准下用代数多项式
逼近 。
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用 一致逼近 ,首先要解决存在性
问题，即对 上的连续函数 ,是否存在
多项式 一致收敛于 ？维尔斯特拉斯
（Weierstrass）给出了下面定理：
定理1 设 ，则对任何 ,总
存在一个代数多项式 ，使
在 上一致成立。
证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）
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假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换:
把 映射到 。
对给定的 ，构造伯恩斯坦多项式,
此为n次多项式:
其中 ，且
这不但证明了定理1，而且给出了 的一个逼近
多项式 。多项式 有良好的逼近
性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得
多，实际中很少被使用。
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§2 最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性
切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他
不让多项式次数n趋于无穷，而是固定n，记次数
小于等于n的多项式集合为 ,显然 。
记 是 上一
组线性无关的函数组，是 中的一组基。 中
的元素 可表示为
其中 为任意实数。要在 中求
逼近