四点共圆基本性质及证明.doc

四点共圆
假如统一破体内的四个点在统一个圆上，那么称这四个点共圆，普通简称为
“四点共圆”。四点共圆有三特性子：
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相称；
（2）圆内接四边形的对角互补；
（3）圆内接四边形的外角即是内对角。
以上性子能够依照圆周角即是它所对弧的度数的一半进展
证实。
定理
1
断定定理
办法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这
底边的同侧，假定能证实其顶角相称，从而即可确信这四点共圆。
（能够说成：假定线段同侧二点到线段两头点连线夹角相称，那么这二点跟线
段二端点四点共圆）
办法2：把被证共圆的四点连成四边形，假定能证实其对角互补或能证实其一
个外角即是其邻补角的内对角时，即可确信这四点共圆。
（能够说成：假定破体上四点连成四边形的对角互补或一个外角即是其内对
角，那么这四点共圆）
托勒密定理
假定ABCD四点共圆（ABCD按次序都在统一个圆上），那么ABDC+BCAD=ACBD。
例题：证实关于恣意正整数n都存在n个点使得一切点间两两间隔为整数。
解答：归结法。咱们用归结法证实一个更强的定理：关于恣意n都存在n个
点使得一切点间两两间隔为整数，且这n个点共圆，同时有两点是一条直径的两
端。n=1，n=2非常轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比方说
边长为3，4，5的三角形。咱们发觉如此的三个点共圆，边长最长的边是一条直
径。假定关于n年夜于即是3成破，咱们来证实n+1。假定直径为r（整数）。寻
一个不跟已存在的以那个直径为歪边的三角形相似的一个整数勾股三角形
ABC
（边长a<b<c）。把本来的圆扩展到本来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的
三角形放到里面去，使得rc边跟缩小后的直径重合。那个三角形在圆下面临应了第
n+1个点，记为P。因此依照Ptolomy定理，P跟已存在的一切点的间隔基本上一
个有理数。（思索P，那个点Q跟直径两真个四个点，这四点共圆，因此PQ是
一个有理数由于Ptolomy定理里的别的数基本上整数。）引入一个新的点P添加了
n个新的有理数间隔，记这n个有理数的最至公分母为M。最初只要求把那个新
的图扩展到本来的M倍即可。归结法成破，故有那个命题。
反证法证实
现就“假定破体上四点连成四边形的对角互补。那么那个四点共圆”证实如下
（别的画个证实图如后）
已经知道：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证实：用反证法
过A，B，D作圆O，假定C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
假定点C在圆外，设BC交圆O于C’，贯穿连接DC’，依照圆内接四边形的性子
得∠A+∠DC’B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=
这与三角形外角定理抵触，故C不能够在圆外。相似地可证C不能够在圆内。
在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
证实办法
2
办法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，而后证另一点也在那个圆周上，假定
能证实这一点，即可确信这四点共圆．
办法2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同
侧，假定能证实其顶角相称(同弧所对的