等比数列的性质PPTPPT课件.pptx

等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为q.
(1)两项关系：an＝_______(m，n∈N*)．
(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝____.
(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两
自学导引
1．
2．
amqn－m
apaq
an－1
an－k＋1
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等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为__的等比数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为__的等比数列；
偶数项数列{a2n}是公比为__的等比数列；
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
3．
q
q2
q2
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：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？
提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，
则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.
在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．
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等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列．
(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列．
(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列．
等比数列的运算性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；
②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
名师点睛
1．
2．
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④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实数常数)是公比为qm的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1q2的等比数列．
(3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．
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题型一　等比数列性质的应用
已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
[思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52，a1a3＝a22，化简已知，可求解．
解　(1)法一　∵an>0，∴a1>0，q>0.
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36，
即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，
【例1】
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∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36，
∴a1q2(1＋q2)＝6，
∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
法二　∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a32＋2a3a5＋a52＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6.
(2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2.
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在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
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(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解　(1)在等比数列{an}中，
∵a1·a9＝a3·a7，
∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：
【变式1】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．
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