概率论与数理统计笔记.doc

概率论的根本概念
1 随机试验
、记录、试验统称为随机试验.
，记为， 称中的元素为根本事件或样本点.
；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进展一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.
、随机事件
，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，，记为样本空间的元素，即的每个结果称为样本点.
，，如此每次试验总是发生，故又称为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点.
，如此称事件包含事件，这指的是事件发生必导致事件的发生。假如且，即，如此称事件与事件
相等.

，称事件与不相容的，.
6.
7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件 “A 出现〞, 如此“事件 A 不出现〞称为事件 A 的对立事件或逆事件.
事件间的运算规律：


频率 反映了事件发生的频繁程度.
：
，频率 呈现出稳定性，“频率稳定性〞，计算频率 以它来表征事件发生可能性的大小是适宜的. 随的增大渐趋稳定，记稳定值为. 的稳定值定义为的概率，记为.
：设是随机试验，，记为，称为事件的概率.
满足如下条件:
非负性：对于每一个事件,有
规X性：对于必然事件,有
可列可加性：设是两两相互不相容的事件，即对于，，，如此有；
.
〔1〕
〔2〕有限可加性 假如是两两互不相容的事件 如此有
〔3〕对于任一事件1
〔4〕对于任一事件A有
(5)
4．等可能概型〔古典概型〕
，并且试验中每个根本事件发生的可能性一样，具有这样特点的试验是大量存在的，，所以也称为等可能概型.
.

：设是两个事件,且，称
为在事件发生条件下事件发生的条件概率.
，即：
〔1〕非负性 对于每一事件B, 有
〔2〕规X性 对于必然事件S，有
〔3〕可列可加性 设是两两互不相容的事件，如此有
3. 乘法定理：设，如此有
推广: 一般设 为n个事件，，且有
.
：设试验的样本空间为，为的事件,
为的一个划分，且，如此
：设试验的样本空间为，为的事件,为的一个划分，且，如此

：设是两事件，如果满足等式，如此称事件相互独立，简称独立.
假如,如此相互独立与互不相容不能同时成立.
2. 定理一：设是两事件，且>0，假如相互独立，如此=.反之亦然.
：假如事件A与B相互独立如此与，与，与也相互独立.
：设是三个事件，如果满足等式,，,如此称事件相互独立.
5.
随机变量与其分布
随机变量
：设随机试验的样本空间是定义在样本空间上的实值单值函数，称为随机变量.
常见的两类随机变量.
，而以小写字母表示实数.
离散型随机变量与其分布律
：有些随机变量，它全部可能取到的不一样的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.
：取值可数的随机变量为离散量.
称为离散型随机变量X的分布律。满足如下两个条件：
〔1〕　　〔2〕
3.〔0－1〕分布
设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是
，如此称 X 服从〔0－1〕分布或两点分布.
〔0－1〕分布的分布律也可写成
： 与, 如此称为伯努利试验．设，此时,将独立重复地进展n次，如此称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.
刚好是二项式的展开式中出现的那一项，故称随机变量服从参数的二项分布，，当时二项分布化为，这就是〔0-1〕分布.

设随机变量X所有可能取值为0,1,2