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茆诗松概率论教案
第一章?随机事件与概率（10课时）
目的与要求: 理解随机事件的基本运算及古典概率的常规计算技巧
二、重点：离散的古典概率与连续型的古典概率
三、难点：离散型的古典概率
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程：
课题引入
P 1
即同一条件下可能出现的不同结果成为随机现象。
随机现象的例子：
掷硬币可能出现正反两面。
投掷骰子，可能出现的点数。
一天进入某超市的顾客数。
某种电视机的寿命。
测量某种物理量（长度，直径等）的误差。
样本空间：
随机现象的一切可能结果成为样本空间。
例
投硬币的样本空间为，其中表示正面，表示反面，
投骰子的样本空间为
进入商场的顾客数的样本空间为：
电视机寿命的样本空间为：
测量误差的样本空间：
注意：样本点为有限个或者可列个的空间为离散样本空间。样本点不可列无限个的空间为连续样本空间。
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。通常用大写字母A,B,C,……表示.
也可以用维恩图表示
随机事件分为基本事件，必然事件，不可能事件。
例 掷骰子的样本空间为：
事件A={出现1点}为基本事件。
事件B={出现偶数点}为复杂事件。
事件C={出现的点数小于7}为必然事件。
事件D={出现的点数大于6}为不可能事件。
表示随机现象结果的变量为随机变量。即为随机事件到数的一个映射。
例如：掷骰子 X=1，2，3，4，5，6.
掷币 X=0，X=1.
电视机寿命T>4000, T<10000
例 掷币两次，一正一反的概率为
例 （抽样模型）不返回抽样的情形。
一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率。
解：设={n件产品有m件不合格品}，则
取 ，则
例（返回抽样）
一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率。解；设={n件产品有m件不合格品}，则
取 ，则
盒子问题）
设有n球，每个球等可能地投入N个不同的盒子里，求：
指定的个盒子各有一球的概率;
恰好有个盒子各有一球的概率。
解：（1）总样本有个。
特殊样本有个。
所求概率为
（2）总样本有个。
特殊样本有个。
所求概率为。
例 （生日问题）
n个人的生日各不相同的概率P是多少。
的近似结果
n
10 20 0 40 50 60


确定概率的几何方法
例 （会面问题）甲乙两人约定6-7点会面，先到者只等20分钟，求两人会面的概率。
解：设分别为甲乙到达的时间。
总体样本为：
能会面的样本为：
则会面的概率为：
例 （蒲丰针问题）平面上平行线相距为d，向平行线投长为的针，问：针与平行线相交的概率。
解：设为针的重心到平行线的边的距离，为针的方向角。
总体样本为：
针能相交的样本为：
则针能与平行线相交的概率为：
用随机模拟法，即蒙特卡罗法也可以做出类似结论。
长度为a的线上任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解：设分别为分成的三段线段的长度。
总体样本为：
能构成三角形的样本为：
则能构成三角形的概率为：
确定概率的主观方法
即用主观频率近似代替理论概率。
概率的性质
概率的可加性
性质 （有限可加性）
若互不相容，则
性质
例： 容36只灯泡4只60瓦，32只40瓦，任取3只，求至少一只60瓦的概率。
解：记，则
所以
例：抛一枚硬币5次，求有正有反的概率。
解：记，，
则
。
概率的单调性
性质 若，则
证明：因为，所以
由于互不相容，由有限可加性得
即得
推论（单调性）若，则
一般性结论
对于任意事件有
证明：由又故
应用
例 口袋有编号为的n个球，从中有放回抽取m次，求m个球中最大号码为的概率。
解：记，
则
概率的加法公式
对于任意两个各事件，有
推论（半可加性）对于任意两个各事件，有
对于任意n个事件，有
例 已知事件的概率分别为，，
求
解：由得：
得
于是
例已知
则A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都