内积空间的标准正交基.ppt

内积空间的标准正交基
标准正交集
（标准正交集） 设X为一
内积空间，M含于X，若M中的所有元素
之间是两两正交的，就称M为一正交集；
再若M中每个元素的范数都是 1 ，称M为
标准正交集。
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标准正交集的性质：
（1）任何标准正交集都是线性无关的。
（2）若（e1, e2, ……, en）是标准正交序列，则每一个x ∈ Span{e1, e2, ……, en}都可以唯一的表示为
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(3)对于任何线性无关的序列（xi），可以
应用格拉姆-施密特标准正交化方法得到
一个标准正交序列（ei），使得对每一个n
属于N都有
Span{e1, e2, ……, en}
= Span{x1, x2, ……, xn}
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（傅里叶级数）
设（en）是内积空间X中的一个标准正交系，任给 x ∈X，则称级数
为矢量 x 关于正交系（en）的傅里叶级数，< x , en > 称为 x 关于en的傅里叶系数。
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设{en}是X中的标准正交集，M
是由{en}中 m 个矢量张成的线性子空间，
即M= Span{e1, e2, ……, em}，对任意的
x∈X，级数
是 x 在M上的正交投影。
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而且有：
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若（en）是内积空间X（无穷维
的）的标准正交系， x ∈ X，则有下列贝
塞尔不等式成立：
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若（en）是内积空间X的标准
正交系，M = Span {e1, e2, … , en }， x ∈ X，对任意的 m 维数组（ α1, α2 , … , αn）有
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内积空间的标准正交基
（内积空间的完全标准正交系或标准正交基）
在内积空间 X 中的标准正交系（en）被称作是完全的，是指 X 中不存在与所有en正交的非零元素。
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设（en）是希尔伯特空间X中的标准正交系， x∈X，则等式
成立的充要条件是：（en）是完全的。
上式也称为帕塞法耳等式。
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