费马点 的两证明方法.docx

费马点_的两证明方法: .
费马点的证明方法
费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶 点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三 顶点的连线两两夹角为120度的点。
1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下
2、当有一个内角大于等于120度时候
对三角形内任一点P
延长 BA 至 C'使得 AC=AC',做/C'AP'= /CAP ,并且使得 AP'=AP, PC'=PC ,（说
了这么多，其实就是把三角形 APC以A为中心做了个旋转）
则 ^APCW/AP'C'
.・BAC/20
PAP'=180 -ZBAP-ZC'AP'=180 -ZBAP- XAP=180 -ZBAC <60°
,等腰三角形PAP'中，AP*P'
. PA+PB+PC *P'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
3、当所有内角都小于120°时
做出用BC内一点P,使得"PC= ZBPC= #PA=120 0 ,分另I」作PA,PB,PC的垂
线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于 P的点P',连结P'A,P'B,P'C ,过
P'作P'H垂直EF于H
易知/D=ZE=ZF=60° ,即DEF为等边三角形，计边长为d,面积为S
则有 2S=d(PA+PB+PC)
PA干H
所以2s在P'F印'A*d
同理有
2SWF 中B*d
2SzTP'D<P'C*d
相加得 2SWI(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC 印'A+P'B+P'C ,当且仅当P,P'重合时取到等号
所以 P 是费马点
虽然不知道费马点在那里， 我们先假设他在某个位置， 做出来， 证明他不可