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数学思维能力培养系列谈③
正向思维与逆向思维
厦门第一中学 郑辉龙姚丽萍
一、 正向思维与逆向思维
正向思维是指按常规习惯去分析问题， 按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到
未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。 正向思维与逆向思维只是相对而言的， 逆向思
维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。
听过“1美元”的故事吗？ 一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。看到这位
气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢， 赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”
“哦，我想借些钱。”好啊，你要借多少？” 1美元。”只需要1美元？”不错，只借1美元，可以 吗？”当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。 ’1那这些担保可以吗？”犹太人
说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。 “喏，这是价值50万美元的珠宝，够
吗？”当然，当然！不过，你只要借 1美元？”是的。”犹太人接过了 1美元和抵押凭证，就准
备离开银行。在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说： ”先生，请等一
下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。”读者朋友，您知道哈德先生如何
回答的吗？答案见本文结尾。
正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物， 由于事物的正反向，
才产生思维的正反向，两者是密切相关的。数学知识本身就充满着正反两方面的转换。 例如
加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定 定理等。两种思维的培养同样重要。
事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化， 因此只要
开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择， 教师的课堂教学及学生的问题思考同样习
惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。另一方面，事实证明，运用逆向思维，
常常会取得意想不到的功效， 这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维 方式。因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。
二、 逆向思维培养示例
1. 新授课中的培养方式。
(1) 逆用定义。在概念教学中应让学生明白：所有定义都是“充分且必要”的，也就
是说定义都具备“可逆性”，可以正反两用。
x2 _x _2
案例1 :解方程 二1的结果是()
x—2
A. x=-1
B. x=0
C. x=1
D. x=2
点评：人教版数学课本七年级（上） P81 “解方程”的定义是：解方程就是求出使方程
中等号左右两边相等的未知数的值， 这个值就是方程的解。 笔者曾经统计过，超过一半的学
生是按照解方程的定义“求出”结果，仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证 ---观察
口算即可获解。
（2） 逆用公式。在公式教学中应让学生明白：所有公式都是恒等式，都可以逆用。
案例 2 :简便计算（1）19992 -1 （ 2）19992 -2000 1998。
点评：两道类型题摆在一起，明显结果是：学生做题（ 1）很顺，做题（2）困难，原因
在于对平方差公式 a2-b2=（a+b）（a-b）的逆用感觉“