四点共圆例题及答案.docx

四点共圆例题及答案.docx例1如图，E、F、G、：E、F、G、H 四点共圆.
证明 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,连接0E、OF、0G、0H.
LAC和BD互相垂直，
.•.在 RtAAOB. RtABOC> RtACOD, RtADOA 中，E、F、G、H,分别 是AB、BC、CD、DA的中点，
/.OE = OF = |bC, OG = |cD, OH = |dA
■.'AB = BC = CD=DA,二 OE = OF = OG = OH.
即E、F、G、H四点共圆.
(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点 共圆.
例 2 如图，在ZXABC 中，AD±BC, DELAB, DF±AC.
求证：B、E、F、C四点共圆.
证明 V DEX AB, DF±AC,
A ZAED+ZAFD=180° ,
即A、E、D、F四点共圆,
ZAEF=ZADF.
又 VAD±BC, ZADF+ZCDF=90° ,
ZCDF+ZFCD=90° ,
ZADF=ZFCD.
ZAEF=ZFCD,
ZBEF+ZFCB=180° ,
即B、E、F、C四点共圆.
(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共 边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.
例3如图，在/XABC中，BD, CE是AC、AB边上的高，ZA = 60° .
求证：ed = |bc.
证明 在Z^ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高.
A ZBEC=ZBDC=90° ,且 E、D 在 BC 的同侧，
.•.E、B、C、D四点共圆.
ZAED=ZACB, ZA=ZA,
.•.△AEDs/XACB.
AE ED 二人 * / 。
—,在RtAAEC中，ZA = 60° ,
ZACE = 30° ；
AE 1 nn ED 1
——=—,即——=—,
AC 2 CB 2
1
/.ED =-BC.
2
上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点 （不在同一直线上）所确定的圆上就不叙述了 .
【例1】 在圆内接四边形ABCD中，ZA-ZC=12° ,且匕A : ZB=2 : 3,求 ZA> ZB, ZC. ZD 的度数.
解..•四边形ABCD内接于圆，
/. ZA+ZC=180° .
ZA-ZC=12° ,
A ZA=96° , ZC=84° .
ZA : ZB=2 : 3,
2
.'.ZB =96° X 3 = 144° .
ZD=180° -144° =36° .
利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题.
【例2】已知：如图1所示，四边形ABCD内接于圆，CE//BD交AB ：AD • BE=BC • DC.
证明：连结AC.
圈1
VCE//BD,
.\Z1=ZE.
VZ1和Z2都是M所对的圆周角，
.-.Z1=Z2.
Z1=ZE.
•..四边形ABCD内接于圆，
.*.ZEBC=ZCDA.
A AADC^ACBE.
AD : BC=DC : BE.
AD • BE=BC • DC.
本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆 中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论.
关于圆内接四边形的性质， 不列入，现介绍如下：
定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.
已知：如图2所示，：AC • BD=AB • CD +AD • BC.
S 2
证明：作ZBAE=ZCAD, AE 交 BD 于 E.
ZABD=ZACD,
.•.△ABEsZ\ACD,
AB
AC
BE
CD
即 AB • CD=AC • BE.①
,? ZBAE+ZCAE=ZCAD+ZCAE,
ZBAC= ZACB= ZADE,
△abcs/xaed . =———.
AD DE
AD • BC=AC • DE. ②
由①，②得 AC • BE+AC • DE=AB • CE+AD • BC
AC • BD=AB • CD+AD • BC
这个定理叫托勒密(ptolemy)定理，是圆内接四边形的一个重要性 -AACD,充分利用相似理论，这在几何 ，希望能引起我们注 '民、.
命题“菱形都内接于圆”对吗？
命题“菱形都内接于圆”：根据 圆的内接四边形的判定方法之一，如