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计算方法复习.docx第一章序言
1 、 什么是最有效的算法？
电子计算机实质上只会做加、减、乘、除等算术运算和一些逻辑运算，由这些基本运 算及运算顺序规定构成的解题步骤，、算法语言、数学语言或自 然语言来描述。用计算机算法语言描述的算法称为计算机程序。
最有效的算法：运算量少，应用范围广，需用存储单元少，逻辑结构简单，便于编写 计算机程序，而且计算结果可靠。
2、 在数值计算中，为避免运算带来较大的误差，应注意哪些问题？（数值稳定性
原则）
1） 防止大数吃小数
2） 防止相近的两数相减
3） 防止接近零的数做除数
4） 简化计算步骤，减小运算次数,避免误差积累
5） 要控制舍入误差的累积和传播 3、绝对误差（限）、相对误差（限）以及有效数字（位数）：
规格化浮点数 1=±0.。1。2.../、10。。定{0,1,2,...,9},。1 壬0, L<c <U
定义 设近似数x=±...anX10m,其中 flie{0, 1, 2, 9}（，=1,2,.
|q|=Iy*—yI< — x 10 m~n
*o,加为整数，如果3 1—1人 A 2 ，则称近似
勺=-^-xl0~,2+1
2d]
值x有n位有效数字，其中都是X的有效数字，也称X为有n位有效数字的近似值 定理设近似数x=±...anX10m有"位有效数字，则其相对误差限为：
（课后做过的练习）如：P12—13 3、4、9、11、12
第二章方程求根
一、 二分法（P18 例 ）
二分法就是将方程的有根区间对分，然后再选择比原区间缩小一半的有根区间，如此继续下 去，直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。
基本法原理:给定方程Rx）=0,设/（x）在区间［a力］连续,且» X»<0,贝IJ方程Rx）在（a力）内至 少有一根，为便于讨论，不妨设方程汽了）=0在（a力）内只有一实根x*.采取使有根区间逐步缩 小，从而得到满足精度要求的实根x*的近似值取。
xo = 2
取［a,仞区间二等分的中点 乙 ，若伽))=。,则xo是/U)=0的实根；
若f(a)f(x())<0成立，则X*必在区间(a, xo)内，取ag,缶=时 否则x*必在区间(孤b)内, 取ai=x0, bx=b,这样，得到新区间断如,其长度为［以］的一半，如此继续下去，进行k次等 分 后 ，得 到 一 系 列 有 根 区 间 ：
=d "i，妃
=)..•=) ［Q号妃，其中每一个区间长度都
b-a
I X * -xk 1<
bk - %
2
b -a
c k + 1
bk - ak 泌
是前一个区间长度的一半，从而［ak A］的长度为 」 如此继续
下去，则有这些区间将收敛于一点，，有：
ln(/?-6i)-ln 2^
K >
即 In 2
(e为给定的精度)
_ak+bk
xk — ~
此时 匕 即为所求方程的近似解。
二、一般迭代法及其收敛性的判别：(例题，作业题)
不动点迭代法又称简单迭代法。
基本思想：构造不动点方程，以求得近似根。即由方程»=0变换为等价方程 x=(p(x),这样原方程的根必满足：工*=饥X*),即cp^x)作用在X*上，其值不发生变化， 因此我们也称对为次工)的不动点,要求方程尔)=0的根就转化为求冷)的不动点了。 具体迭代如下：
先取一个估计值工0来试探，若憩0)=劣0，则入*=尤0(可能性很小)一般饥Xo) 乂劣0，记 Xi=(p(x0), 若 X1=(P(X1),贝|J
若了1和(尤1),记X2=(p(%l)，再用工2继续试探
如此反复计算，即形成一迭代公式 xk+1=(p(xk) , 00,1,2,...)
• 如果｛独｝收敛，则称迭代公式是收敛的；否则称迭代公式是发散的。
• 如果｛Xk｝收敛于X*，而衣X)是连续函数时，那么X*即是<p(x)的不动点。也即X*就是
方程的根。
定理1：设<p(x)在x=(p(x)的根X*邻近有连续的一阶导数，且I cp,(x*)l<l,
则迭代公式Xk+l=<P(Xk)具有局部收敛性。
注：有局部收敛性的条件l°(x*)l<l可用
I甲'(Xo)l<l来近似代替。
(没要求计算近似值时，不需迭代，而用该定理判断其收敛性)
定理2：对于迭代公式Xk+1= <p(Xk)，如果俨(X)在所求根x*的邻近连续，并且(p'(x*)=(p”(x*)
=...=时P-D(x*) =0,平(P)(x*)尹0,则该迭代公式在点x*邻近是P阶收敛的。
三、牛顿迭代法及其收敛性(例题，作业题)
xk+l = xk
fg)
7u)