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标准答题强化练〔五〕
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标准答题强化练(五)
解 析 几 何
(45分钟　48分)
1.(12分)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点62,-1,左右焦点分别为F1,F2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M,N两个不同的点,|MN||OQ|2的值是否为一个常数?假设是,求出这个常数;假设不是,请说明理由.
【解析】(1)原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,那么b2=1,所以b=2.
因为点62,-1在椭圆上,所以32a2+12=1,所以a=3,
所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1. (3分)
(2)设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
OQ的方程为x=my,那么MN的方程为x=my+1,
由x=my,x23+y22=1得x2=6m22m2+3,y2=62m2+3,即x02=6m22m2+3,y02=62m2+3.
所以|OQ|=1+m2|y0|=61+m22m2+3, (6分)
由x=my+1,x23+y22=1,得(2m2+3)y2+4my-4=0.
所以y1+y2=-4m2m2+3,y1y2=-42m2+3, (8分)
|MN|=1+m2|y1-y2|=
1+m2·16m2(2m2+3)2+162m2+3=
1+m2·431+m22m2+3=43(1+m2)2m2+3. (10分)
所以|MN||OQ|2=43(1+m2)2m2+36(1+m2)2m2+3=233.
所以|MN||OQ|2的值是常数233. (12分)
2.(12分)椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点(2,0).
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关于x轴对称?假设存在,求出点N的坐标;假设不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意得b=2,a2=8,故椭圆C的方程为y28+x24=1.(4分)
(2)假设存在点N(m,0),设PQ的方程为y=k(x-1),
代入椭圆方程化简得:
(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)
设P(x1,y1),
Q(x2,y2),那么x1+x2=2k22+k2,x1x2=k2-82+k2,所以kPN+kQN=y1x1-m+y2x2-m
=k(x1-1)x1-m+k(x2-1)x2-m
=k(x1-1)(x2-m)+k(x2-1)(x1-m)(x1-m)(x2-m)
=k2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m(x1-m)(x2-m),(8分)
因为2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=2(k2-8)2+k2-2(1+m)k22+k2+2m=4m-162+k2,(10分)
所以当m=4时,kPN+kQN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称,当PQ⊥x轴时,由椭圆的对称性可知恒