cg读书报告.doc

计算机图形学中非线性投影问题的介绍
李志远物理电子学PB11203285 1引言
投影和变换是经典计算机图形学中两个重要的工具。由于它们都 可以利用简单的矩阵乘法表示，因此是线性的。近20年来，在计算 机图形学、计算机辅助设计、绘画艺术、摄影术和地图学等领域中， 出现和发展了许多共同的非线性投影方法，例如：正交投影、最小距 离投影、平行投影和中心投影、方向投影、最小二乘投影、伪透视投 影、多点透视、全景投影、鱼眼投影、球极投影、圆环反演等，这些 非线性投影技术极大地丰富了传统计算机图形学的内容，产生了比线 性投影技术更具艺术感染力的视觉效果，同时也为相关领域的工程问 题提供了更有效的工具。
本文介绍了计算机图形学和计算机辅助几何设计领域中几个重 要的非线性投影问题，包括：点/曲线在曲线/曲面上的正交投影，基 于球极投影的单位球面圆环序列的蒙皮以及参数曲线在曲面上的平 行投影和中心投影问题，这几种投影问题在曲面上的曲线设计方面有 着重要理论和实际应用价值。同时，还介绍了三种常用的非线性投影: 伪透视投影、鱼眼投影和圆环反演。
2投影问题相关研究综述

正交投影分为点在曲线上的正交投影、点在曲面上的正交投影以 及曲线在曲面上的正交投影，称前面两种情形为点投影问题，称第三
种情形为曲线投影问题。根据表示形式不同，曲线和曲面可以分为参 数曲线、曲面和隐式曲线、曲面。下面先介绍点在参数曲线/曲面上 和隐式曲线/曲面上的正交投影算法，再介绍曲线在参数曲线/曲面上 和隐式曲线/曲面上的正交投影算法。
丄）点投影
计算点在参数曲线、曲面上的正交投影并反求对应参数的问 题在几何建模、计算机视觉等领域有着重要应用，国内外学者在 这方面作了很多工作。早期的关于点到参数曲线、曲面的正交投 影算法都是将该问题转化为最小距离方程，并用Newton-Raphson 方法进行求解。Mortenson给出了一种数值算法，通过求解最小 距离点所应满足的方程：（Q-P）XN=0的根来得到正交投影点，其 中P为给定的点，Q为曲面上距离P最近的点，N为曲面在Q 点处的法向量。Limaiem和Trochu通过构造一个辅助方程并求该 方程的根来得到正交投影点。Hartmann求点到曲面的正交投影时 利用曲面的normalform方程以及曲面的一阶微分量。上述几种方 法均采用了 Newton-Raphson方法来求解方程组的根。Piegl和 Tiller给出了一种利用Newton-Raphson方法求解点到参数曲线和 曲面的正交投影的算法。
由于Newton-Raphson方法在求解方程组时需要比较好的初 始值才能使得计算过程收敛。因此，很多学者提出了细分的方法 来计算点投影的问题或是用来为Newton-Raphson方法计算一个 好的初始值。Zhou等将点投影问转化为张量积Bernstein基表示
的n元多项式方程组的求解问题。Dyllong和Luther利用NURBS 曲面的细分技术以及非线性方程组求解方法来解决点到NURBS曲 面的投影问题。Piegl和Tiller通过将NURBS曲面细分，并将点 投影到最近的曲面片上来得到正交投影点。Ma和Hewitt利用细 分方法将NURBS曲线或曲面分成Bezier曲线或曲面以及给定的 投影点与细分曲线段或曲面片的控制点或网格的位置关系来获得 初始值。然而，Chen等指出Ma和Hewitt的方法在某些情形下 会出现错误。Selimovic在文献的基础上提出了一种新的方法来计 算初始值。Piegl和Tiller指出：尽管有好的初始值，但是 Newton-Raphson方法在某些情形下仍然可能会给出错误的计算 结果或是计算过程不能收敛。因此，将点投影问题转化为方程组 并利用Newton-Raphson方法或类似数值计算方法来求解的方式 存在一定的缺陷。
近年来，利用参数曲线和曲面的微分量来迭代计算点到参数 曲线和曲面的几何算法受到高度关注。一些文献利用参数曲线或 曲面的一阶微分量来迭代计算正交投影点。从几何意义来看，这 些方法均是利用切线或切平面来局部逼近曲线或曲面，然后通过 求点到切线或切平面的正交投影来迭代计算投影点。Hu等提出了 一种重要的几何方法。对于点到参数曲线的正交投影，采用了曲 率圆来代替切线去逼近曲线，然后通过计算到曲率圆的投影来迭 代计算最终的投影点。对于点到参数曲线的正交投影，首先计算 出在曲面在初始点处的切平面上的一个方向，即沿着该方向可以 逐渐逼近最终的正交投影点；然后构造法曲率圆来逼近法截线， 并通过计算投影点在该法曲率圆上的投影点来更新初始点的位置。 重复上述步骤，最终可以找到满足精度要求的正交投影点。
Liu等 指出Hu的方法在计算法截线方向时只是