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巧用四点共圆证
圆有许多重要的性质，如果同学们在把这些性质学好的基础上，能巧妙地应用这些性 质来证题，将会取到事半功倍的效果。下面举例说明：
例L已知：如图1,圆6和圆O?相交于A、B两点，CD是两圆的外公切线，C、D 是切点，CB延长线交AD于E, DB延长线交AC于F。求证：DE ♦ DA=DB • DF。
图1
证明：联结AB。
•「CD是圆Oi的切线，CB是圆Oi的弦,
•. ZBCD = ABAC
同理
・• ZBCD+ ZBDC+ ZCBD= 180° 而 /CBD = /EBF,
・・ ZBAC+ ZBAD+ ZEBF = 180°
即 + = 180。
. .尸、A、E、5四点共圆
：.DEDA=DBDF
：如图2, AA5D和AAEC分别是以AA3C的边AB、AC向外作的等边三 角形，联结BE、CD相交于F。求证：AF平分
证明：,••△45。和AAEC都是等边三角形,
:.ZDAB= ZEAC = 6(f
ZDAB + ZBAC = ZMC+ ZCAB
即 ZDAC=ZBAE
： DA = BA, EA = CA
AZMCm A5gsAS)
Z1 = Z2, Z3=Z4
v Z1=Z2, N1和N2在AF的同侧，
「.A、D、B、F四点共圆
/. ZDBA = ZDFA （同弧所对的圆周角相等） 同理 NEC4 = ZEE4
「ZDBA = ZECA /. ZDM = ZEFA
即AF平分ZDFE
：如图3,在AEAF内有一点C,作CEAAE于点E, CFXAF于点F, CB//AF 交AE于点B, CD//AE交AF于点D。
图3
求证：AC? = AE +A/
证明：过点D作。WL4C于点M
过点B作6NL4C于点N
V CF1AF, DM1AC,
「.M、C、F、D四点共圆
:.ADAF = AMAC (1)
同理B、E、C、N四点共圆
:.ABAE = ANAC (2)
又因为AADM三ACBN,四边形ABCD为平行四边形，所以AM=CN
(1) + (2)得
ABAE+ADAF=ANAC+AMAC
=AC(AN + AM) = AC( AN + CN) = AC2
即4。？=48 4七=4。4尸
说明：以上三例，都是利用了四点共圆，再根据圆的有关性质来达到证题目的的。
证明四点共圆有下述一些基本方法
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上， 若能证明这一点，即可肯定这四点共圆.
方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边 的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为 直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。)
方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外 角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆.
方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自