三角形五心.doc

三角形五心
D
略。直角三角形的情况，直角顶点显然是垂心；钝角——大家没发现三角形OBC垂心就是A吗？
垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )。
外心
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。
计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
内心
内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
内心坐标
设三角形的三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，其对边长分别为a,b,c，则
内心坐标I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c))
旁心
旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
燕尾定理
燕尾定理，就是一个关于如图三角形的定理。
三角形ABC中，三角形AOB/三角形AOC=BF/FC；同理，三角形AOC/三角形COB=AD/DB；三角形BOC/三角形BOA=EC/AE。
证明过程如下：
三角形ABF/三角形ACF=BF/FC=三角形BOF/三角形COF，根据比例性质，BF/FC=（三角形ABF-三角形BOF）/（三角形ACF-三角形COF）。
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点
燕尾定理

三 知识框架
燕尾定理
两个有公共边的三角形和，与交于点，则三角形的面积与三角形的面积之比等于与的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）
四 概念解析
燕尾定理（共边定理）：
五 例题讲解
，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。

整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.
我们回顾下燕尾定理，发现右图三角形中存在一个比例关系：
，解得.
，为中点，为中点，为中点，