专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明.doc

抽象函数单调性与奇偶性
特殊模型
抽象函数
正比例函数ｆ(x)=kx 　（k≠0）
f（x＋ｙ）=f(ｘ)+ｆ（y)
幂函数 　 f（x)＝ｘn
f(xy)=ｆ(x)ｆ(y）　　［或］
指数函数 ｆ(ｘ)＝aｘ　　(ａ＞0且a≠1）
f（x+y)=ｆ(x)f（y) [
对数函数 ｆ(x）＝loｇａx　　 (a＞０且a≠1)
ｆ(xｙ）=ｆ(x)+ｆ（ｙ) ［
正、余弦函数 f（x)=ｓinx 　　ｆ(ｘ)=cosｘ
ｆ(ｘ+Ｔ)=ｆ(x)
正切函数 f(x)=taｎx
余切函数 　ｆ（x)＝coｔｘ
，对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。
证明:令=0, 则已知等式变为……①
在①中令＝0则2=２∵ ≠０∴=1∴∴∴为偶函数。
2．奇函数在定义域（-１，1）内递减,求满足的实数的取值范围。
解:由得,∵为函数,∴
又∵在(－1，1)内递减,∴
=（a>0)对任意的有,比较的大小
解:对任意有∴=2为抛物线＝的对称轴
又∵其开口向上∴（２)最小,（1)=（3)∵在[2,+∞)上，为增函数
∴（3）<（4)，∴（2)<（１）＜(4）
4．　已知函数f(ｘ)对任意实数x，y,均有f(x+y)=ｆ（x）+f(y）,且当x＞０时,ｆ(x)＞0，ｆ(-1)=-2，求ｆ(x)在区间［－2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数f（ｘ)是的抽象函数，因此求函数ｆ(x)的值域,关键在于研究它的单调性。
解：设,∵当,∴,
∵,
∴,即,∴f（x）为增函数。
在条件中,令y=-ｘ，则,再令ｘ＝y=0,则ｆ(0)＝2 ｆ(０),∴ f（0）＝０,故f(－x）＝ｆ（ｘ）,ｆ（ｘ)为奇函数，
∴ ｆ（１）=-ｆ(－１）=2,又ｆ(-２）=2 f(-1）=-4，
∴ f（ｘ)的值域为[－４,2]。
５. 已知函数f(x)对任意,满足条件f(ｘ）＋f（y）=２　+　f（ｘ+y),且当x＞0时，f（ｘ）>2,f(3）＝５，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测:f（ｘ)是y=x+2的抽象函数,且f（x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解：设,∵当,∴,则, ﻫ即,∴f(x)为单调增函数。 ∵,　又∵f（３)＝5，∴ｆ（１）=3。∴,∴,　即，解得不等式的解为-１ < a ＜ 3。
(x）的定义域是（－∞，＋∞),满足条件:存在，使得,对任何x和y,成立。求:
（1）ｆ(０)； （2)对任意值x，判断ｆ(x)值的正负。
分析:由题设可猜测f(ｘ)是指数函数的抽象函数，从而猜想ｆ(０)=1且f(ｘ)＞0。
解:(1)令y=０代入,则，∴
。若f(x）＝0,则对任意，有，这与题设矛盾,∴ｆ(ｘ)≠0，∴f(0）＝1。
(2)令y＝ｘ≠０,则,又由(1)知ｆ（x)≠０,∴ｆ(2x）>0,即f(ｘ)＞0，故对任意x,f(x)>0恒成立。
７．是否存在函数ｆ(x),使下列三个条件:①f(ｘ)>0,ｘ ∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式，如不存在，说明理由。
分析:由题设可猜想存在,又由f（２)＝4可得ａ=２．故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下：