专题抽象函数单调性与奇偶性证明.doc

专题抽象函数单调性与奇偶性证明
专题抽象函数单调性与奇偶性证明
专题抽象函数单调性与奇偶性证明
抽象函数单调性与奇偶性
特殊模型
抽象函数
正比例函数f（ｘ）＝ｋｘ 　（ｋ≠0)
f（x+ｙ）=f(x）+f(y)
幂函数　 f（ｘ）=ｘn
f（xy）＝ｆ（x）f（y)　 [或]
指数函数 　ｆ（x）=ａx　 （ａ〉０且ａ≠１)
ｆ(x＋y)=ｆ（ｘ）ｆ（y) [
对数函数 ｆ（ｘ）＝logax （a>0且a≠1）
ｆ（ｘy)=f（x)＋f(ｙ） ［
正、余弦函数 　ｆ（x）=siｎx　　 f(x)=coｓｘ
f（x＋T）=f（ｘ）
正切函数 f(x）=ｔanx
余切函数 　f(x)=cｏｔx
，对一切实数、都成立,且，求证为偶函数。
证明:令＝0， 则已知等式变为……①
在①中令=0则２=２∵ ≠０∴＝1∴∴∴为偶函数。
２。奇函数在定义域（－1,１）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴
又∵在（-1,1）内递减，∴
3。如果=(a〉０）对任意的有，比较的大小
解：对任意有∴=2为抛物线＝的对称轴
又∵其开口向上∴(２）最小，（１）=(3）∵在［2,+∞)上，为增函数
∴（3)<(４）,∴（2）〈（1)〈（4)
４. 已知函数f（x）对任意实数x,y,均有ｆ（x+y)＝f（x)+f（y）,且当x〉0时，f（ｘ）〉0，f（-1）=-２,求f(x）在区间[—２,１］上的值域．
分析:由题设可知，函数ｆ（x）是的抽象函数，因此求函数ｆ（ｘ）的值域,关键在于研究它的单调性.
解:设,∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f(x)为增函数。
专题抽象函数单调性与奇偶性证明
专题抽象函数单调性与奇偶性证明
专题抽象函数单调性与奇偶性证明
在条件中，令y=—x，则,再令x＝ｙ=０,则f(0)=２ f(0）,∴　ｆ（０）＝０,故ｆ(—x）＝f（x),f(ｘ）为奇函数,
∴　f(1）＝—f(—１）=２，又ｆ（-2)=２　f（-１）=-４,
∴ f(x)的值域为[－４，2］。
5。　已知函数f（x）对任意，满足条件ｆ（ｘ)＋f(y)＝２ ＋ f(ｘ+ｙ)，且当ｘ〉0时，f(x）>2,f(3)＝5，求不等式的解.
分析:由题设条件可猜测：ｆ(ｘ）是y＝x+2的抽象函数，且ｆ(x)为单调增函数,如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设，∵当，∴,则，　
即，∴f(ｘ）为单调增函数。 ∵，　又∵f（3）＝5,∴ｆ(1)=３。∴，∴， 即,解得不等式的解为－１ < a 〈 ３。
６。设函数f（x)的定义域是（—∞，+∞）,满足条件:存在,使得，对任何x和y，：
（1）ｆ(０)； （2）对任意值x，判断ｆ（x）值的正负．
分析:由题设可猜测ｆ(x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0)=1且f（x)＞0。
解:（１）令y=０代入,则,∴
。若f(x）＝0,则对任意,有，这与题设矛盾，∴ｆ（x）≠0,∴ｆ（0）=１。
（2)令y=ｘ≠０，则，又由（1）知f(ｘ)≠0，∴ｆ（２ｘ）〉0,即f(x)>０，故对任意x,f(x）〉0恒成立.
7。是否存在函数f(x),使下列三个条件