专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明.doc

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抽象函数
正比例函数f(x)=kx (k≠0)
f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数 f(x)=xn
f(xy)=f(x)f(y) [或]
指数函数 f(x)=ax (a>0且a≠1)
f(x+y)=f(x)f(y) [
对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y) [
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x+T)=f(x)
正切函数 f(x)=tanx
余切函数 f(x)=cotx
,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。
证明:令=0, 则已知等式变为……①
在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
(-1,1)内递减,求满足的实数的取值范围。
解:由得,∵为函数,∴
又∵在(-1,1)内递减,∴
=(a>0)对任意的有,比较的大小
解:对任意有∴=2为抛物线=的对称轴
又∵其开口向上∴(2)最小,(1)=(3)∵在[2,+∞)上,为增函数
∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)
4. 已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。
解:设,∵当,∴,
∵,
∴,即,∴f(x)为增函数。
在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,
∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4,
∴ f(x)的值域为[-4,2]。
5. 已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设,∵当,∴,则,
即,∴f(x)为单调增函数。∵, 又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴, 即,解得不等式的解为-1 < a < 3。
(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:
(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负。
分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。
解:(1)令y=0代入,则,∴
。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。
(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。
分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=,用数学归纳法证明如下:
(1)x=1时,∵,又∵x ∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。
(2)假设时有,则x=k+1时