专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明.doc

抽象函数单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。证明:令=0,则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数。(-1,1)内递减,求满足的实数的取值范围。解:由得,∵为函数,∴又∵在(-1,1)内递减,∴=(a>0)对任意的有,比较的大小解:对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小,(1)=(3)∵在[2,+∞)上,为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。解:设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f(x)为增函数。在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4,∴f(x)的值域为[-4,2]。(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就能够脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设,∵当,∴,则,即,∴f(x)为单调增函数。∵,又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴,即,解得不等式的解为-1<a<3。(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:(1)f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。解:(1)令y=0代入,则,∴。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=,用数学归纳法证明如下:(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。综上所述,x为一切自然数时。(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:(1)f(1);(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。分析:由题设可猜测f(x)是对数