§4.2量子力学的矩阵表示.doc

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§ 量子力学的矩阵表示
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若 ，则称态和正交。而则是指态是归一化的。
基底在自身表象上的表示为
¬ 第行
基底的正交归一化写成 .
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态向基底的展开写成
展开系数
.
对于连续谱情况
本征方程：
基底：
正交归格化：
封闭关系：
态在表象上的表示矩阵成为本征值的函数
态和的内积为
因为
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归一化条件为
.
而基底在自身表象上表示为
.
二、算符的表示
1．算符用矩阵表示
算符是通过对态的作用定义的。因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
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矩阵是算符在表象上的表示
矩阵元为
可以在坐标表象上计算。下面会看到，在坐标表象上矩阵元的计算公式为
式中.
【例】用包括Hamilton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。在一维谐振子的能量表象上，计算坐标，动量和本身的表示矩阵。
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利用矩阵元公式



得坐标，动量和的表示矩阵

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2．在自身表象上力学量算符的表示


在自身表象上力学量算符的表示是一个对角矩阵，而对角元素就是这个力学量的本征值。
因此，求解力学量的本征值问题，可以通过选择合适的基底，使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。对角元素就是待求的本征值，而所用的基底就是待求的本征态。
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