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新产品销量预测问题(李润陈明治王经纬) 销量预测问题一、摘要本文通过建立微分方程模型,探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、由理想到现实,逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况,分析了广告费用对销售量产生的影响,建立比较符合现实的模型。问题一中,新产品的投入,没有市场竞争,有良好的市场环境,也有良好的口碑,故属于较为简单的微分方程模型,可直接建立模型。问题二中,产品销售存在一定的市场容量 N,统计表明 dt dx 与该产品的潜在容量)(txN?成正比,故建立阻滞增长模型求解。问题三中,则考虑了广告费用对产品销量的影响,分析了广告费用与销售速率之间的关系,建立数学微分方程模型,并运用了 Matlab 软件编程求解。二、问题提出一种新产品问世,经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施, 使得产品销量大,获取更大的利润,这是每个经营者最为关注的问题。 1、设 t时刻产品销量的增长率 dx dt 与)(tx 成正比,预测 t 时的产品销量?? tx ; 2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量 N,统计表明 dt dx 与该产品的潜在容量)(txN?成正比,预测 t 时的产品销量?? tx ; 3、试考虑影响产品销量的广告因素,并建立模型,预测 t 时的产品销量?? tx . 三、模型假设与符号系统模型假设: 模型基本假设:; 假设 1:在考虑影响商品销售的因素时,不考虑偶然因素,如经济、战争因素、政治干预等; 假设 2:产品的销售量符合产品的生命周期; 假设 3:产品为日常用品,不是耐用品,每个人都需要。符号系统: x(t) 为t时刻新产品的销售量 a为每件新产品的宣传效率 N为市场的销售容量 b为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数 s(t) 为商品t时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份, 八月份的销售量,而不是总销售量) M(t) 为t时刻的广告费用θ为销售量本身的衰减系数?为广告宣传对销售速率的影响 T为商品销售速率最大的时刻四、模型的建立与求解问题一模型的建立与求解: 模型的建立: t时刻时,新产品的销售量为 x( t),把 x( t)当做连续、可微函数处理。每件新产品都是宣传品,且单位时间内每件新产品能够使 a件新产品被销售。由假设可知: x(t+ ? t)-x(t)=ax(t) 即: dx ax dt ?开始时有 0x 件新产品被销售 x(0)= 0x 整理得: (0) 0 dx ax dt x x ???????求解得: ( ) 0 at x t x e ?问题二模型的建立与求解: 模型的建立: 事实上, ?? tx 往往是有上界的。针对模型上述欠缺,我们来修改模型,统计表明 dt dx 与该产品的潜在销量成正比,且设 b为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数则: ( ( )) dx b N x t dt ? ?用 matlab 软件求解得: ( 1) 0 ( ) bt bt N e x x te ? ??问题三模型的建立与求解: 模型的建立:与实际情况比较,所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。然而事实上,厂家在产品销售之初,往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。另由图像分析可知商品的