108二面角.doc

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【知识网络】
1、二面角的平面角的定义三要素；
2、作二面角的平面角的主要方法；
3、二面角的范围：；
。
【典型例题】
例1：（1）正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为，则侧面与底面所成的二
面角为 （ ）
A． B． C． D．
答案：D。解析：设高为h，斜高为，∴，即θ=。
（2）60°的二面角，动点A∈α，动点B∈β，AA1⊥β，垂足为A1，且AA1=a，，那么B点到平面α的最大距离是 （ ）
A、 B、 C、 D、
答案：A。解析：如图过A1作A1M⊥，垂足为M，连结AM，则AM⊥，所以∠AMA1为二面角的平面角，即∠AMA1=60°，
又AA1⊥β，AA1=a，，所以A1A⊥A1B，
则A1B=a，故B点的轨迹是平面β内以A1为圆心，a为
半径的圆，显然当B、A1、M三点共线时，点B到平面
α的距离最大，其最大距离为
。
（3）两个同底的正棱锥P—ABC和Q—ABC都内接于同一个半径为R的球O，设正三棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角分别为α、β，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
答案：A。解析：不妨设球心O在底面ABC上，则α=β，BO=R，
，故选A。
（4）平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为的椭圆，则角
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θ等于_______。
α
β

答案:30°.解析:，即。
（5）．正方形的夹角的余弦值是
答案：。解析：令正方形边长为a，则在△BCF中，，
∴。
例2：如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。
答案：（1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，∵D1E分别为AC1和BB1的中点，DF∥AA1，
DF=AA1，B1E∥AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F为平行四边形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1
（2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABC—A1B1C1中，因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1—DE—B1的平面角。并且∠FDA1=∠A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA1C1=900，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。
例3：点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求二面角的正切值．
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D
M
H
G
O
F
A
B
E
G
H
M
A
B
C
D
E
F
O
C
答案：（Ⅰ）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．
因为二面角D－AC－B为直二面角，

又在中，，
．
．
（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．
∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．
∴就是二面角的平面角．
在RtEGM中，，，，
∴．
所以，二面角的正切值为．
α
M
α
β
例4：已知P、Q、M分别是45°的二面角α—l—β的面α、β和棱l上的点，直线MQ是直线PQ在β上的射影（如图），若PQ和β成角，l和MQ成θ角，PM=a，求PQ的长.
答案：作PH⊥β于H，∵MQ是PQ在β上的射影，∴⊥l于N，并连结PN，易证PN⊥l， ∴∠PNH是二面角α—l—β的平面角，即∠PNH=45°.
设PQ=x，则NH=PH=xsin，，MN=NH·cotθ=xsin·cotθ.
在Rt△PMN中，∵PM2=PN2+MN2，，故