传热学第四章.ppt

第四章　导热问题的数值解法
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§4-0 引言
求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法
三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；
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(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热过程进行实验求解的方法。
3 三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
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(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性
强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实
验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；
b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、
边界元法（boundary- element）、
分子动力学模拟（MD）
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§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1 物
理
问
题
的
数
值
求
解
过
程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
求解代数方程
是否收敛
解的分析
改进初场
是
否
方程
离散化
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二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题
2 例题条件
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x
y
n
m
(m,n)
M
N
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题
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4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
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(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j
来表示节点(i+1,j)的温度ti+1,j
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的
温度ti-1,j
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若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加
移项整理即得二阶导数的中心差分：
同样可得：
截断误差
未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2
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