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一道与正方形有关的几何题的几种解法
同学们自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法. 那么如何培养同学们的创新能力呢？，希望对提高同学们的创新能力有所帮助.
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F. 求证：AE=EF.
图1
方法一：构造全等三角形
证明：如图2，在AB上取一点H，使BH=BE，连接EH.
图2
因为∠B=90° ， 所以∠BHE=∠BEH=45° .
所以∠AHE=135°.
因为CF平分∠DCG，
所以∠DCF=45°，所以∠ECF=90°+45°=135°.
即∠AHE=∠ECF.
因为AB=BC ，所以AB-BH=BC-BE.
即AH=EC .

因为AEEF，
所以∠AEB+∠FEC=90°.
又因为∠BAE+∠BEA=90°，所以∠BAE=∠CEF.
所以AHE≌FCE，所以AE=EF.
方法二：利用等角对等边的性质
证明：如图3，延长FC交AB的延长线于点H，连接EH.
图3
因为FC平分∠DCG ，所以∠BCH=∠FCG=45°.
又因为∠CBH=∠ABC=90° ，所以∠BHC=45°.
所以BH=BC=AB，所以BE是AH的垂直平分线.
即AE=EH，所以∠1=∠2.
又因为AEEF，所以∠3+∠4=90°.
因为∠1+∠3=90°，所以∠1=∠4，所以∠2=∠4.
又因为∠4+∠F=45° ，∠2+∠EHC=45°，
所以∠F=∠EHC ，所以EF=EH，
即AE=EF.
方法三：构造辅助圆
证明：如图4，连接AC、AF.
图4
因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°.
又因为CF平分∠DCG，所以∠DCF=45°.
即∠ACF=90° .

又因为∠AEF=90°，
易知点A、E、C、F在以AF为直径的圆上.
根据同弧所对的圆周角相等，得∠AFE=∠ACE=45°.
所以∠EAF=45°，所以AE=EF.
方法四：利用对称性
证明：如图5，作ECF关于BG的对称图形ECH.
连接AC，易知A、C、H三点共线.
图5
因为AEEF ，所以∠3+∠