高数总复习题三.doc

高数总复习题三.doc第三章总复习题
4、设f (x)在［］上连续，在()内可导，且f (0) =0,对任意的xG (0. 1)有f ex)手o 证明：存在<6 co. 1)使L^l=L^lo
证明：设 F (x) =f (x) f (1-x)
因为 f (o) = o...f(o) = o,f ⑴=0
f (x)在［］上连续，在()内可导「.F (x)在［］上连续，在()内可导 根据罗尔定理得
在［］内必有〈使F'(x)=0.-. y'(x)f(l —x) —y(x)f'(l — x)=0
在［］内f (x) #0此式成立。
5、设f(x)在0,|上连续，在0,§内可导，且f |ko,证明存在一点
使得 f(〈) + tan(<)广(<)=0。
证明:设F(x) = f(x>sin(x),则 Ff(x) = cos(x)f(x) + sin(x)f'(x)
因为/侦］=0，-，F(°)=0,「(号)=。
且/(x), sin (x)在0,§连续在内可导•盘⑴ 在此区间上有同样的性质 根据罗尔定理得在［(),§)上必有一点〈使矿(功=0 即 cos(Gf(G + sin(Gf'(G = 0
整理后既得所证结果f«) + tan«)f,(<) = 0
7设f(x)和g(x)都是可导函数，且|广(x)|<g，(x)证明：当x>a时
证明：构造函数
广(x)=f⑴* x-a
因为 |f'(x)|<g'(x)
g'(x) =
g(x)-g(a)
X — Cl
所以 f(x)-f(a) <g(x)-g(a)又因为
x>a
x-a x-a
得|y(x)-y(a)| < g(x)-g(a)
8、求极限

cos(x)-e
COSX = 1 —— X2 H X4 +O(X4)
2 4!
/ i i i
e 2 =1 ——%2 + x4 +e?(x4)
2 2 4
1- —x2 + —x4 +o(x4)-l + —x2 ^-X4 -O(X4)
・]. 2 4! 2 2 4
..=lim —— : 7
i0 X
]
~~n
9 r r x i )

x-1 + 1
x-1
n k x — 1 Inx J
=lim
=1 + lim
11
1
x-1
=l + lim
11
lnx-x + P
lim
—I
利用罗比达法则,
lim
11
=lim
X->1
lim
X
1 — 1) 1 +lnx
' 1-X 、
X
(x-l) + xlnx
\ x J
c 、
1-x
(x — l) + xln 七
罗比达法则得lim
XT1
1-x
(x-l) + xlnx^
lim Inxln(l-x)
x^r
ln(l - x)
=lim
1
Inx
罗比达法则：
_
= lim—- x->r 1
In2 x x
「 In2 x x
=lim
a 1-x
罗比达法则
[.In2 x + 21nx
=lim
x->r —1 =0
lim| x-x2ln(l + —) X
利用等价无穷小
…1、 1 1 1 / 1、
ln(l + -)=——+ ^(—) x x 2 x x
lim| x-x2 ln(l + —)
1叭 x
=lim +o(。)
[ 2 x
~2
TT
lim(— arctan x)x
、/丸 、
xln(—arctan x)
= lime 2
X—>00
丸
lim ^ln(—arctan x)
2
,,7C 、
ln(—arctanx)
lim—
X—>8 1
应用罗比达法则得
1 )1
兀, 2 1 + r2
—arctan x 1 A
lim—
x^oo I
lim
xf l+x arctan
=C
_2
=e丸
6 lim (tan x)2^71
lim
71 x->—
2
In(tanx)
lim —1—
7l~ (2工一1)
x->_
=e 2
cosx 1
lim 血》cos?*
X 工 7 2
2 (2x-”)2
=Cz
(2x-^)2
hm
n- 2cosx
].(2x-;r)2
lim
兀一 2cosx
x—>—
e 2
8尤一4〃
lim
兀一 2sinx
X―>—
e 2
=矿=1
1
lim(l