完整版四点共圆.doc

完整版四点共圆.doc四点共圆
四点共圆的性质及判定：
判定定理 1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边
为圆的直径．
判定定理 2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
判定定理 3：对于凸四边形 ABCD，对角互补 四点共圆
判定定理 4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD其对角线 AC、BD交于 P， AP PC BP PD 四点共圆
判定定理 5：割线定理：对于凸四边形 ABCD其边的延长线 AB、CD交于 P，
PA PB PC PD 四点共圆
托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
即：若四边形 ABCD 内接于圆，则有 AB CD AD BC AC BD .
A
D
B
C
1：如图，在圆内接四边形 ABCD 中，∠ A=6 0°，∠ B=90°， AB=2， CD=1，求 BC的长
B
C
D
A
例 2：如图，正方形 ABCD 的面积为 5， E、 F 分别为 CD、 DA 的中点， BE 、 CF 相交于 P，
AP 的长
D E C
P
F
A B
3：如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，CB=CD=4 ，AC 与 BD 相交于 E，AE=6 ，线段 BE 和 DE 的
长都是正整数，求 BD 的长
A
E
B D
C
例 4：如图， OQ ⊥ AB ， O 为△ ABC 外接圆的圆心， F 为直线 OQ 与 AB 的交点， BC 与 OQ 交于 P
点， A 、 C、Q 三点共线，求证： OA2 OP OQ. A
C
O
F P
B
例 5：如图， P 是⊙ O 外一点， PA 与⊙ O 切于点 A， PBC 是⊙ O 的割线， AD ⊥ PO 于 D，
求证： PB : BD PC : CD.
P
B
D
A
O
C
6：如图，直线 AB 、 AC 与⊙ O 分别相切于 B、