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双层规划法
双层规划的一般形式
设X,Y分别为n,m维欧式空间，X 丫为X与丫的叉积空间。双层规划模型的
般形式如下：
(P1)
opt F x, y
x
(P2)
opt f x, y
y
(1)
St.
g x, y 0
其中，x X,y Y分别为上层(P1)与下层(P2)的决策变量；Fx,y与f x, y是
定义于凸区域G X 丫上取值于实数集的上、下层的目标函数，
G x, y g x, y 0 : g x,y为X Y的实函数。令S x存在y,使x,y G ，
称为允许集，x S为允许元。
当上层给出的一决策•即给出允许元 x S，满足下层目标函数及约束条件
的最优解，可以表示为：
x Argopt f x, y : g x,y 0 (2)
y
此时，若 x为单点集，即存在唯一的y yx x与之相对应，称它为下层
对上层的反馈函数(这里我们假设y yx x的唯一性，即要求对每一 x S， 存在唯一的yx，但一般讲这是不必要的。如果不唯一，这时 yx就成为数集，
y y x就成为的x反馈“集”函数。本文不再讨论)。这个问题称为下层规划问 题(P2)。可以看出，下层的决策y是依赖于上层决策x的。对每一上层决策x S， 满足上层目标函数的最优解可以表示为：
opt F x, y x : g x, y 0 (3)
x
若存在x S，使得Fx,yx opt F x, y x ，称x , y为双层规划的最优解。
x
即：
F x ,y x opt F x, y x opt F x, Argopt f x, y
x x y
综上所述，双层规划问题是由两个单一规划问题（P1）、（P2）组成的决策变量 相互关联的如下规划问题：
（P1） opt F x, y
x
其中y y x如下决定
（P2）opt f x, y （ 4）
y
St. g x, y 0
双层规划问题可以有效地应用于管理部门来组织生产， 既充分发挥生产部门
的潜力又能得到宏观控制，达到持续、稳定、健康的发展。下面就文章开始的一 个以效益兼具公平性为双层目标的双层规划问题建立双层规划模型。 分配一选址模型
总公司下面有N个分公司，每一个分公司记为i i 1, ,N，经过多因素分 析后，在第j j 1, ,M个城市中，初步确定备选地址，标号为 k k 1, ,L。 已知第i个公司所管辖的第j个城市选择第k个地址后的成本与收益分别为cijk， Wjk （可以用货币单位或者其他数量折算，见表1）。规定每一城市至少要选建一 个超市，即在每一城市的所有备选点中至少要选一个。 对于下层的每一分公司来
. 如何在各城市
选择合适的备选点k。使得分公司的效益最大？而对于位于上层的总公司来说， 就是要考虑如何分配专项投资资金T ,即如何决策资金分配向量
N
S1,S2, ,Sn , Si T ,使得资金的分配最为“公平合理” ？详细分析如下：
i 1
一方面，对于每一个分公司i i 1, ,N，根据总公司所分配的