12余弦定理教学设计.doc

12余弦定理教学设计.doc 余弦定理
教学目标：
掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问 题；
能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.
教学重点：
重点是余弦定理及其证明过程.
教学难点：
难点是余弦定理的推导和证明.
教学过程:
1 .仓。设情景，提出问题•
问题1:修建一条高速公路,要开凿隧道将一段山
体打通•现要测量该山体底侧两点间的距离,即要测量
该山体两底侧A，B两点间的距离（如图1） .请想办法
解决这个问题.
设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，定
在其解决的过程中得到余弦
理，自然引出本课的学习内容.
，解决问题.
学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺 算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处 选一点C，然后量出AC, BC的长度，再测出/ ACB.
△ ABC是确定的，，请三 位板演其解法.
法1 ：（构造直角三角形）
如图2,过点A作垂线交BC于点D，则
| AD I = I AC I sinC, I CD I = I AC I cosC，
I BD I = I BC I -1 CD I = I BC I - I AC I cosC，
所以 > | AB| ,|AD|2|BDF
,| AC |2|BC |22|AC| |BC| cosC .
法2：（向量方法）
uuu uuur uuu
如图3,因为AB ACCB ,
UUU2UUU uuu 2所以 , AB
(AC CB)2
AC I sinC),
uuur 2UUU2 uuur uuu
AC CB 2 AC CB cos( C),
即 I AB I I AC I BC |_2 I ACBC | cosC .
法3：(建立直角坐标系)
建立如图4所示的直角坐标系，则A (I AC I coSC, B (I BC I ,0),
根据两点间的距离公式，可得
| AB| (|AC|cosC |BC|)2 (| AC | sinC 0)2 ,
所以 > | AB | . | AC |2 I BC |2 2 I AC I I BC I cosC .
活动评价：师生共同评价板演.
追踪成果，提出猜想.
师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ ABC中，a，b，c是
角A，B，C的对边长，则有c2 a2 b2 ，a2 c2 b2 2cbcos A ' b2 c2 a2 2ca cos B .
正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系， 因为与正弦有
关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理.
问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程?
设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯.
学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角 C进
行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三 种解法可 以作为余弦定理的证明过程.
教师总结：证明余弦定理，，我们可以将 一般三角形的问题通过作高，转化为直角三