集合补课习题.doc

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集合补课习题
集合元素的“三性”及其应用
集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异 性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易 .
一、 注意正确理解其意义
确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么
不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义.
互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即 同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为 这个集合的一个元素.
无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合， 因此，集合中的元素与顺序无关.
二、 注意正确利用“三性”解题
例1下列命题正确的有哪几个？
⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1, 5｝与集合｛5, 1｝是不同的集合；⑶集合
｛（1, 5） ）与集合｛ （5, 1） ）是同一个集合；⑷由1, , , I - I , 0. 5这些数组成 的集合有5个元素.
分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确 定性、互异性、无序性为标准作出判断.
解：⑴“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某326412
一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集 合，故⑴错.
（2） （1, 5）是由两个数1, 5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5, 1｝是同 一个集合，故⑵错.
⑶｛ （1, 5） ｝是由一个点（1, 5）组成的单元素集合，由于（1,
5)与(5, 1)表示两个不同的点，所以{ (1, 5) }和{ (5, 1) }是不同的两个集 合，故⑶错.
=,| — | =0. 5,因此，由1, , , | — | , 0. 5这些数组成的集合为{1, , 0. 5}, ，⑷也错.
例 2 已知集合入={a, a + b, a+2b} , B = {a, aq, aq2),其中 a 0, A = B , 求q的值.
分析：木题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求 出q的值，这显然违背了集合的无序性.
解：•.•A = B,及集合元素的无序性，.•.有以下两种情形：
a b aq ① 2a 2b aq 32326412326412
消去b,解得q=l,此时a = aq = aq2,与集合中元素的互异性矛盾，.'.q 1.
a b aq2 ② a 2b aq
消去b,解得q=一,或q=l (舍去)，：本题中，利用集合元素 的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出q值 后，又利用了集合元素的互异性进行检验，
例3设入={ x | x2+ (b+2) x + b +1= 0 , b R),求A中所有元素之和.
错解：由 x2+ (b+2) x + b+ l= 0 得(x+1) (x + b+1) = 0
当b = 0时，x 1 =x2 —1,此时A中的元素之和为一2.
当 b 0 时，xl +x2 =- b -2.
分析 上述解法错在(1)上，当b = 0时，方程有二重根一1,集合A= { —1},故元 素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性” .因此，在列举法表示集 合时，要特别注意元素的“互异性” .例4己知集合A {2, 3,a2+4a+2}, B= {0, 7, a2+4a-2, 2-a},且 A B={3, 7},求 a 值.
分析：A B= (3, 7) a2+4a+2=7. 即 a=l,或 a= —5.
至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A,集合B中的元素是什么，它是 否满足元素的互异性,= —5时,2 —a=7,在B中重复出现,这与元 素的互异性相矛盾,故应舍去a=-=l时,B={0,7,3, 1}且A B={3,7}
.I a=l
评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差 之毫厘则失之千里.
集合学习中的错误种种
数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍 不留心就会不知不觉地产生错误，本交归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免 此类错误的再次发生.
一、 混淆集合中元素的形成
例 1 集合 A (x, y)|x y 0 , B (x, y)|x y 2 ，则 A B .错解：解
方程组